Накопление погрешностей

Накопление погрешностей — это явление, при котором отдельные малые неточности измерений, представления чисел и вычислений постепенно складываются и приводят к более существенному отклонению итогового результата от истинного значения. В лабораторных измерениях это проявляется, когда систематические и случайные погрешности повторяются на протяжении серии операций; в численных методах — когда округления и аппроксимации в каждой итерации суммируются. Оценки того, как погрешности распространяются через модель или алгоритм, обычно выражаются с помощью приближённых формул вида $\Delta z \approx \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\frac{\partial z}{\partial y}\right|\Delta y$, которые отражают вклад частичных производных и абсолютных ошибок, или через соотношения для относительных ошибок, например $\frac{\Delta z}{z} \approx \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$.

Практическое значение накопления погрешностей велико: при проектировании эксперимента, выборе численных методов и при анализе результатов необходимо учитывать, насколько устойчивым и невосприимчивым к накоплению ошибок является процесс. В теории численных методов различают понятия обусловленности задачи и устойчивости алгоритма: даже хорошо обусловленная задача может приводить к большим ошибкам, если алгоритм аккумулирует округления. Для суммирования большого числа слагаемых и для многократно применяемых итерационных схем полезно знать грубые верхние границы ошибки, например оценку аккумулирующегося округления вида $\text{Ошибка суммирования} \le (n-1)u \sum_{i=1}^n |x_i|$, которая показывает, что при большом числе операций даже «малые» машинные погрешности могут стать заметными.