многочлен

Многочлен — один из базовых объектов алгебры, представляющий собой конечную сумму одночленов с целыми, вещественными или иными коэффициентами. В общем виде многочлен одной переменной x записывают как $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$, где коэффициенты a_n, a_{n-1}, …, a_0 принадлежат выбранному кольцу или полю, а n — неотрицательное целое число, называемое степенью многочлена (при условии, что a_n ≠ 0). Особый случай — нулевой многочлен, у которого все коэффициенты равны $0$; его степень обычно не определяют или считают равной −∞ по договорённости в теории порядков.

Многочлены применяются повсеместно: они описывают приближения функций в численных методах, используются при решении алгебраических уравнений, в теории вычислимости и в криптографии. Операции над многочленами — сложение, умножение и умножение на константу — сохраняют класс многочленов и позволяют строить новые выражения. Например, при сложении и умножении коэффициенты складываются или перемножаются по правилам дистрибутивности, а степень произведения равна сумме степеней сомножителей при ненулевых старших коэффициентах. Для графического представления и анализа корней многочленов часто используют вычисление производной и исследование поведения функции на интервалах; во многих практических задачах строят аппроксимации, интерполирующие многочлены и ряд Тейлора, приближающий функцию многочленом высокой степени. Визуально многочлен можно представить графически, а также через разложение на линейные множители над полем комплексных чисел (теорема о корнях многочлена). {IMAGE_0}