Масштабирование

Масштабирование — математическая операция, при которой все точки фигуры или вектора смещаются от начала координат так, что расстояния от начала изменяются одинаково по заданному коэффициенту. Это базовое понятие в геометрии и линейной алгебре: при масштабировании длины умножаются на постоянный множитель, направления сохраняются (в случае равномерного, или «униформного», масштабирования), а фигуры остаются подобными исходным. Формально действие на вектор удобно записать через умножение вектора на скаляр: $\mathbf{v}'' = k\,\mathbf{v}$.

В практических задачах масштабирование используется при построении карт и чертежей, обработке изображений, при моделировании физических явлений и в компьютерной графике. В координатной форме двумерное масштабирование описывается матрицей, которая домножается на вектор положения точки: $\begin{pmatrix}k&0\\[4pt]0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}kx\\[4pt]ky\end{pmatrix}$ {IMAGE_0} Параметр коэффициента масштабирования показывает, во сколько раз увеличиваются или уменьшаются длины. При равномерном масштабировании площадь фигуры изменяется в квадрате от коэффициента, что выражается формулой: $A'' = k^{2}A$ Это важно учитывать при вычислении площадей и при переводе масштабов на чертежах.

Стоит также упомянуть неоднородное (или аффинное) масштабирование, когда коэффициенты по разным осям различны: такое преобразование изменяет форму объекта и может менять углы, но остаётся линейным отображением. В школьной программе важно уметь отличать равномерное масштабирование, при котором сохраняются подобие и направление, от неоднородного, которое применяется, например, при растягивании изображений или при видеографике для создания перспективных эффектов. {IMAGE_1}