Лемма Гаусса

Лемма Гаусса — важное утверждение в теории многочленов с целыми коэффициентами, которое облегчает работу с разложением на множители. Сначала введём полезное понятие: многочлен называется примитивным, если НОД всех его коэффициентов равен 1, то есть $\gcd(a_0,a_1,\dots,a_n)=1$. Лемма рассматривает именно такие примитивные многочлены и даёт простой способ понять, как ведёт себя их произведение и как связаны разложения в кольцах \(\mathbb{Z}[x]\) и \(\mathbb{Q}[x]\).

Основная формулировка леммы звучит так: $f,g\in\mathbb{Z}[x]\text{ примитивны }\Rightarrow fg\text{ примитивен}$. На основании этого получают удобный следствий: если взять произвольный целочисленный многочлен f и разложить его в рациональных многочленах, то одно можно свести к целочисленному разложению, выделив «содержание» (content) и «примитивную часть». Формально это выражают так: если $\text{Если }f\in\mathbb{Z}[x]\text{ примитивен и }f=gh,\ g,h\in\mathbb{Q}[x],\text{ то }\exists\;u,v\in\mathbb{Q}:\;ug,\;vh\in\mathbb{Z}[x]$, то можно подобрать рациональные множители, переводящие множители в целочисленные; а в особой форме это приводит к следующему эквиваленту для примитивных многочленов: {FORMULA_3}. Это значит, что проверку неприводимости над полем рациональных чисел часто достаточно заменить проверкой над кольцом целых чисел, что упрощает алгоритмы и доказательства.

Идея доказательства леммы проста и наглядна: рассматривается простое p, которое делит все коэффициенты произведения, и затем показывается, что такое p обязательно делит все коэффициенты одного из сомножителей, что противоречит их примитивности. В понятиях «содержания» многочлена cont(f) и «примитивной части» pp(f) это записывается как разложение f=cont(f)·pp(f), после чего доказывают мультипликативность содержания и примитивности примитивной части. Лемма широко используется при факторизации многочленов и в теоретических доказательствах о приведении задач из \(\mathbb{Q}[x]\) в \(\mathbb{Z}[x]\).