Эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая — это особый тип гладкой кривой на плоскости, задаваемой алгебраическим уравнением простой формы. В классической записи кривая задаётся уравнением вида $y^2 = x^3 + a x + b$, где параметры определяют форму кривой и требуют, чтобы особые точки отсутствовали; это условие контролируется дискриминантом $\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)$. Геометрически такая кривая выглядит как плавная форма с одной или двумя «петлями» над действительными числами, а над другими полями — как множество точек с богатой арифметикой. {IMAGE_0}

Помимо чисто геометрического интереса, эллиптические кривые важны тем, что на них можно определить операцию сложения точек, которая делает множество точек кривой абелевой группой. Для сложения разных точек используют наклон прямой, проведённой через две точки, вычисляемый по формуле $\lambda = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, а для удвоения точки — по формуле $\lambda = \dfrac{3x_1^2 + a}{2y_1}$. После вычисления наклона координаты результирующей точки находятся по соотношениям $x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2,\quad y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1$. Именно эта структура — простая для вычисления в одну сторону, но сложная для обратного восстановления — делает кривые полезными в современной криптографии. {IMAGE_1}