Единица умножения

Единица умножения — это специальный элемент в алгебраической структуре (множество с операцией умножения), обладающий свойством оставлять любой элемент множества неизменным при умножении на него. Иначе говоря, единица умножения e (обычно обозначаемая цифрой 1) удовлетворяет условию $1 \cdot a = a$ для всех подходящих элементов a множества. В разных контекстах единица может обозначаться по-разному: как 1 в числовых системах или как 1_R в кольце R; её роль — служить нейтральным элементом относительно операции умножения.

Единица умножения встречается повсеместно: в целых, рациональных, вещественных и комплексных числах, в матрицах и в абстрактных алгебраических структурах (моноиды, кольца, поля). Она необходима для определения обратимых элементов (единиц кольца или группы). Свойство обратимости формулируют через единицу: если элемент a обратим, то существует элемент a^{-1} такой, что $a \cdot a^{-1} = 1$. Единица умножения также уникальна: если в структуре есть два нейтральных элемента e и e'', то из их свойств следует равенство $e e'' = e'' = e$, что показывает невозможность существования двух разных «единиц» одновременно.