Дистрибутивность

Дистрибутивность — это свойство бинарной операции относительно другой операции, выражающееся в том, что первая «распределяется» по второй. В школьной алгебре под этим обычно понимают дистрибутивность умножения относительно сложения и вычитания: при умножении суммы на число результат равен сумме произведений каждого слагаемого на это число. Формально это записывают компактно и универсально; ниже приведены конкретные формы и примеры. Понятие дистрибутивности встречается не только в арифметике, но и в алгебре колец, теории множеств и логике, где одна операция распространяется на другую по сходному закону. {IMAGE_0}

Применение дистрибутивности многообразно: она позволяет упрощать выражения, раскрывать скобки, выносить общий множитель и сводить задачи к более простым вычислениям. В структуре алгебраических систем (например, в кольцах) дистрибутивность умножения относительно сложения — одна из аксиом, которая обеспечивает согласованность работы операций и делает возможными такие операции, как факторизация и приведение подобных членов. В теории множеств аналогичным образом выполняется дистрибутивность пересечения относительно объединения и наоборот при определённых условиях; в логике — дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции и т.п.

Важно помнить, что дистрибутивность — не универсальное свойство: не любая пара операций обладает ей. Например, сложение не всегда дистрибутивно относительно умножения в том смысле, как умножение относительно сложения; также возведение в степень обычно не дистрибутивно относительно сложения. Важные формулы и наглядные примеры приведены ниже; все математические выражения в этом тексте вынесены в список формул для наглядности.