Дискриминант

Дискриминант — это числовая характеристика многочлена, которая отражает сведения о его корнях без прямого их вычисления. Для квадратного многочлена коэффициентов a, b, c дискриминант определяется как значение выражения $\Delta = b^2 - 4ac$ и служит простым показателем того, сколько и каких корней имеет уравнение второй степени. В более общем смысле дискриминант любого многочлена — это специальная многочленная функция от его коэффициентов, равная нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Поэтому дискриминант связывает алгебраические свойства многочлена с его аналитическим и геометрическим поведением.

Практическое применение дискриминанта очень широкое: он помогает заранее определить количество действительных корней, понять пересечение графика параболы с осью абсцисс и упростить исследование знака выражений. Для квадратного уравнения информация о корнях извлекается по знаку дискриминанта: значения $\Delta>0,\ \Delta=0,\ \Delta<0$ соответствуют соответственно двум различным действительным корням, одному кратному (двойному) действительному корню и паре комплексно-сопряжённых корней. Если нужно найти сами корни, то в формуле корней квадратного уравнения дискриминант входит под знаком корня: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, что делает его ключевым элементом при решении и при анализе зависимости корней от коэффициентов. В более высоких степенях дискриминант помогает отличать простые корни от кратных и используется в теории форм, дифференциальных уравнений и при исследовании устойчивости систем.

Помимо общих свойств, полезно рассмотреть конкретный пример, чтобы увидеть вычисление и интерпретацию. Ниже приведён разбор простого квадратного уравнения и вывод о количестве корней на основании значения дискриминанта.