Целая часть

Понятие «целая часть» числа относится к простейшим и важным операциям с действительными числами. Под целой частью числа x обычно понимают наибольшее целое число, не превышающее x. Это определение позволяет однозначно разложить любое действительное число на сумму целой и дробной (дробной или «дробной») частей, что удобно при решении задач на округление, оценку и при анализе функций. Формально это записывают следующим образом: $\\lfloor x\\rfloor=\\max\\{n\\in\\mathbb{Z}:n\\le x\\}$

У целой части есть несколько очевидных и полезных свойств. Для целого числа n целая часть совпадает с самим числом: $\\lfloor n\\rfloor = n,\\quad n\\in\\mathbb{Z}$. Для произвольного x выполняется неравенство $\\lfloor x\\rfloor\\le x<\\lfloor x\\rfloor+1$, а также можно ввести дробную часть и разложение числа на целую и дробную части: $x=\\lfloor x\\rfloor+\\{x\\},\\quad 0\\le\\{x\\}<1$. Эти соотношения помогают при доказательствах неравенств, при упрощении выражений с дробями и при работе с делением с остатком в теории чисел.

Практическое применение целой части встречается при округлении вниз, при определении номера ячейки в разбиениях отрезков, при вычислении индексов в массивах и при доказательствах, где важна точная отделимость целой и дробной части. Стоит помнить, что целая часть для отрицательных чисел ведёт себя не так, как просто отбрасывание знаков после запятой: для отрицательных аргументов значение может быть строго меньше «отсечённой» части, что видно на примерах ниже.