Ассоциативность сложения

Ассоциативность сложения — это свойство операции сложения, которое утверждает, что при последовательном сложении трёх (и более) элементов результат не зависит от того, как расставлены скобки и какие пары складываются первыми. Формально это записывают следующим образом: $(a + b) + c = a + (b + c)$. На практике это означает, что если вы складываете несколько чисел или векторов, то нет необходимости следить за порядком объединения пар: группировка может быть изменена без изменения конечного результата. Это упрощает вычисления и позволяет писать выражения без скобок, когда речь идёт именно о суммах.

Ассоциативность имеет важные последствия для арифметики и алгебры: многие теоремы и методы преобразований опираются на возможность переставлять скобки в суммах. Для стандартных числовых множеств (натуральных, целых, рациональных, действительных) операция сложения ассоциативна, что видно на простом числовом примере: $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$. Ассоциативность также выполняется в векторных пространствах для операции сложения векторов, что формально выражается так: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$. Благодаря этому можно объединять частичные суммы в произвольном порядке, что важно при доказательствах, вычислениях по частям и при программной реализации суммирования больших массивов данных.