Операции с целыми числами

Введение в целые числа

Целые числа - это множество чисел, которое включает в себя положительные числа, отрицательные числа и ноль. В школьном курсе мы моделируем операции, действующие на этих числах, и изучаем правила, позволяющие надёжно вычислять результаты различных выражений и уравнений.

Понимание арифметики целых чисел начинается с понятия сложения и вычитания как объединения и удаления элементов в целочисленном контексте. Общее обозначение операции сложения можно записать как $a + b$, что отражает сумму двух целых чисел. На уровне примеров простая сумма выглядит как $2 + 3$, а сложение с отрицательным слагаемым — как $(-3) + 5$.

Кроме операций, важно уметь работать с модулем числа — величиной, показывающей расстояние от нуля. Символ модуля записывается как $|a|$. Например, для отрицательного числа модуль равен его противоположному значению: $|-5| = 5$.

Сложение и вычитание целых чисел

Сложение целых чисел подчиняется знакомым свойствам: ассоциативности и коммутативности, что позволяет менять порядок и группировку слагаемых без изменения результата. Общая запись сложения двух чисел представлена ранее как $a + b$, а коммутативность формализуется выражением $a + b = b + a$.

Вычитание определяется через сложение с противоположным: выражение вычитания общего вида можно записать как $a - b$, а его эквивалент через сложение с отрицательным слагаемым — как $a - b = a + (-b)$. Это удобная альтернатива, позволяющая свести правило вычитания к уже знакомому правилу сложения.

Особое место занимает нулевой элемент относительно сложения: для любого целого числа действует равенство $a + 0 = a$. Также сумма противоположных чисел даёт ноль, что записывается как $(-a) + a = 0$. Эти факты важны при решении уравнений и при упрощении выражений.

Умножение целых чисел

Умножение целых чисел — это повторное сложение одного и того же числа. Обозначение общего умножения записывается как $a \cdot b$. При умножении с участием отрицательных множителей важно помнить правила знаков: произведение числа на отрицательное значение меняет знак результата, при этом произведение двух отрицательных чис равно положительному, как в примере $(-3) \cdot (-2)$.

Умножение также обладает коммутативностью и ассоциативностью: соответствующие тождества записываются как $a \cdot b = b \cdot a$ и $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Дистрибутивность умножения относительно сложения позволяет раскрывать скобки и упрощать выражения, формула дистрибутивности выглядит как $a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$.

{IMAGE_0}

Деление целых чисел и остаток от деления

Деление целых чисел нацело рассматривает частный и остаток. Если делимое и делитель — целые числа, при делении с остатком существует представление вида $a = bq + r,\quad 0 \le r < |b|$, где q — частное, а r — остаток, удовлетворяющий неотрицательному условию и меньший по модулю, чем делитель. Конкретный пример записи для чисел даёт равенство $7 = 3\cdot 2 + 1$.

При делении следует соблюдать, что деление на ноль не определено. Однако деление нуля на ненулевое число даёт ноль, что можно представить как $0 \div 5$. Частное при делении двух целых может быть целым, как в $6 \div 2$, либо иметь неполное деление с остатком, если делитель не делит делимое без остатка.

Для программирования и алгоритмов часто используются операции целочисленного деления и вычисления остатка (операторы floor, mod и т.п.). В форме математической функции пол для деления обозначается как $\lfloor a/b \rfloor$, где округление идёт в сторону отрицательной бесконечности или к нулю в зависимости от определения, принятого в языке программирования.

Свойства операций и порядок действий

Знание базовых свойств операций позволяет упрощать выражения и проверять корректность вычислений. Ассоциативность сложения и умножения записаны как $a + (b + c) = (a + b) + c$ и $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Коммутативность даёт свободу перестановки аргументов, что формализуется равенствами $a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$ соответственно.

Дистрибутивный закон связывает умножение и сложение и часто используется при раскрытии скобок и упрощении выражений, формула записана выше как $a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$. Также важно помнить правило обращения вычитания в сложение с противоположным числом: $a - b = a + (-b)$.

Понимание этих свойств особенно важно при упрощении сложных алгебраических выражений и при работе с алгоритмами, где операции можно оптимизировать, пользуясь идентичностями и перестановками.

Модуль, сравнения, НОД и работа с показателями

Модуль числа — важное понятие при сравнении величин и при анализе расстояния до нуля. Символ модуля уже был введён как $|a|$, а пример вычисления для конкретного отрицательного числа — $|-5| = 5$. В задачах сравнения часто оперируют модулями, чтобы перейти к неотрицательным величинам.

Кроме арифметических операций, при работе с целыми числами часто рассматривают целочисленные функции, такие как функция наибольшего общего делителя. Пример: $\gcd(12,8)=4$. Знание свойств НОД полезно при сокращении дробей и решении задач, связанных с делимостью.

Подводя итог, важно не только знать отдельные правила операций с целыми числами, но и уметь сочетать их: переводить вычитание в сложение, использовать дистрибутивность для упрощения, аккуратно обрабатывать случаи с нулём и учитывать знаки при умножении и возведении в степень. Эти навыки составляют основу грамотной арифметики и программирования на целых типах данных.