Гомотетия

Гомотетия — это геометрическое преобразование, при котором фигура изменяет свои размеры, но сохраняет форму. При гомотетии каждая точка фигуры перемещается вдоль прямой, проходящей через фиксированную точку (центр гомотетии), на расстояние, пропорциональное её начальному удалению от этой точки. Пропорциональность изменений задаётся коэффициентом гомотетии.

Определение гомотетии

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка фигуры перемещается в новую точку по следующему правилу:

1. Существует фиксированная точка $OO$, называемая центром гомотетии.
2. Каждая точка $AA$ перемещается в точку $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ вдоль прямой $OAOA$, причём:

где:

• $kk$ — коэффициент гомотетии,
• $OO$ — центр гомотетии,
• $AA$ и $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ — точки исходной и преобразованной фигуры.

Координаты новой точки $A^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})A\text{'}(x\text{'},\; y\text{'})$ вычисляются по формулам:

где:

• $(x,y)(x,\; y)$ — координаты исходной точки,
• $(x_0,y_0)(x\_0,\; y\_0)$ — координаты центра гомотетии,
• $kk$ — коэффициент гомотетии.

Виды гомотетии

1. Увеличение ($k>1k\; >\; 1$): Фигура увеличивается в размере, отдаляясь от центра гомотетии.

2. Уменьшение (): Фигура уменьшается в размере, приближаясь к центру гомотетии.

3. Инверсия (): Происходит увеличение или уменьшение фигуры с одновременным зеркальным отображением относительно центра.

4. Тождественная гомотетия ($k=1k\; =\; 1$): Фигура остаётся без изменений.

Свойства гомотетии

1. Сохранение формы: Гомотетия сохраняет пропорции и углы между сторонами фигуры, делая её подобной исходной.

2. Изменение размеров: Все расстояния увеличиваются или уменьшаются пропорционально коэффициенту $kk$.

3. Центр гомотетии: Центр гомотетии остаётся неподвижной точкой.

4. Сохранение отношений: Если две точки на фигуре находились в определённом отношении расстояний, то после преобразования это отношение сохраняется.

5. Преобразование прямых: Прямые линии преобразуются в прямые, параллельные или совпадающие с исходными.

Пример 1: Увеличение фигуры

Пусть треугольник имеет вершины $A(1,1)A(1,\; 1)$, $B(2,3)B(2,\; 3)$, $C(4,2)C(4,\; 2)$, и центр гомотетии находится в начале координат $O(0,0)O(0,\; 0)$. При коэффициенте $k=2k\; =\; 2$ новые координаты вершин вычисляются так:

1. Для $A(1,1)A(1,\; 1)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 1=2,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 1=2x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 1\; =\; 2,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 1\; =\; 2$

   Точка $A^{\mathrm{\prime }}(2,2)A\text{'}(2,\; 2)$.

2. Для $B(2,3)B(2,\; 3)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 2=4,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 3=6x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; =\; 4,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 6$

   Точка $B^{\mathrm{\prime }}(4,6)B\text{'}(4,\; 6)$.

3. Для $C(4,2)C(4,\; 2)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 4=8,y^{\mathrm{\prime }}=2\cdot 2=4x\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 4\; =\; 8,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 2\; \backslash cdot\; 2\; =\; 4$

   Точка $C^{\mathrm{\prime }}(8,4)C\text{'}(8,\; 4)$.

После преобразования треугольник увеличится в 2 раза и будет иметь вершины $A^{\mathrm{\prime }}(2,2)A\text{'}(2,\; 2)$, $B^{\mathrm{\prime }}(4,6)B\text{'}(4,\; 6)$, $C^{\mathrm{\prime }}(8,4)C\text{'}(8,\; 4)$.

Пример 2: Уменьшение фигуры

Для того же треугольника $A(1,1)A(1,\; 1)$, $B(2,3)B(2,\; 3)$, $C(4,2)C(4,\; 2)$, при центре $O(0,0)O(0,\; 0)$ и коэффициенте $k=0.5k\; =\; 0.5$, новые координаты вершин будут:

1. Для $A(1,1)A(1,\; 1)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 1=0.5,y^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 1=0.5x\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 1\; =\; 0.5,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 1\; =\; 0.5$

   Точка $A^{\mathrm{\prime }}(0.5,0.5)A\text{'}(0.5,\; 0.5)$.

2. Для $B(2,3)B(2,\; 3)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 2=1,y^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 3=1.5x\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 2\; =\; 1,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 3\; =\; 1.5$

   Точка $B^{\mathrm{\prime }}(1,1.5)B\text{'}(1,\; 1.5)$.

3. Для $C(4,2)C(4,\; 2)$:

   $x^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 4=2,y^{\mathrm{\prime }}=0.5\cdot 2=1x\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 4\; =\; 2,\; \backslash quad\; y\text{'}\; =\; 0.5\; \backslash cdot\; 2\; =\; 1$

   Точка $C^{\mathrm{\prime }}(2,1)C\text{'}(2,\; 1)$.

После преобразования треугольник уменьшится в 2 раза и будет иметь вершины $A^{\mathrm{\prime }}(0.5,0.5)A\text{'}(0.5,\; 0.5)$, $B^{\mathrm{\prime }}(1,1.5)B\text{'}(1,\; 1.5)$, $C^{\mathrm{\prime }}(2,1)C\text{'}(2,\; 1)$.

Применение гомотетии

1. Геометрия: Используется для изучения подобных фигур, анализа свойств геометрических объектов и доказательства теорем.

2. Искусство и дизайн: Применяется для создания пропорциональных изображений и масштабирования объектов.

3. Инженерия и архитектура: Используется для проектирования конструкций и построения моделей в разных масштабах.

4. Компьютерная графика: Применяется для масштабирования объектов в анимациях и визуализации.

Заключение

Гомотетия — это мощный инструмент в геометрии, который позволяет изменять размеры фигур, сохраняя их форму и пропорции. Этот тип преобразования имеет множество приложений в науке, технике, искусстве и других областях, где требуется изучение или создание подобных объектов.