Основные

Курсы

Другое

Арифметика в различных системах счисления

Арифметика в разных системах счисления имеет особенности, связанные с основанием системы и количеством используемых цифр. Применение арифметических операций в этих системах важно для решения задач в информатике, математике и инженерии. В этом конспекте рассмотрены основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — в различных системах счисления: двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной.

1. Операции в двоичной системе счисления

Двоичная система (основание 2) использует только два символа: $0$ и $1$ . Все арифметические операции выполняются аналогично десятичной системе, но с ограничением на два возможных значения для каждой цифры.

1.1. Сложение в двоичной системе

Сложение в двоичной системе напоминает сложение в десятичной, но с меньшими правилами. Основные правила:

$0 + 0 = 0$
$0 + 1 = 1$
$1 + 0 = 1$
$1 + 1 = 10$ (перенос на следующий разряд)

Пример:
Сложим $101 1_{2}$ и $110 1_{2}$ .

$1 + 1 = 10$ (записываем 0, переносим 1)
$1 + 0 + 1 = 10$ (записываем 0, переносим 1)
$0 + 1 + 1 = 10$ (записываем 0, переносим 1)
$1 + 1 + 1 = 11$ (записываем 1, переносим 1)

Ответ:

101 1_{2} + 110 1_{2} = 1100 0_{2}

1.2. Вычитание в двоичной системе

Вычитание в двоичной системе также основано на принципе “заноса” (переноса единицы в случае необходимости).

Основные правила вычитания:

$0 - 0 = 0$
$1 - 0 = 1$
$1 - 1 = 0$
$0 - 1 = 1$ (с заимствованием из следующего разряда)

Пример:
Вычтем $101 1_{2}$ минус $11 0_{2}$ .

$1 - 1 = 0$
$1 - 0 = 1$
$0 - 1 = 1$ (заимствуем 1)
$1 - 1 = 0$

Ответ:

101 1_{2} - 11 0_{2} = 01 1_{2}

1.3. Умножение в двоичной системе

Умножение в двоичной системе аналогично умножению в десятичной, но с ограничением на две цифры.

Пример умножения:

$110_2 \times 101_2$ :

Умножаем $11 0_{2}$ на 1: $11 0_{2}$
Умножаем $11 0_{2}$ на 0 и сдвигаем на 1 позицию: $00 0_{2}$
Умножаем $11 0_{2}$ на 1 и сдвигаем на 2 позиции: $1100 0_{2}$

Ответ:

110_2 \times 101_2 = 11110_2

1.4. Деление в двоичной системе

Деление в двоичной системе аналогично делению в десятичной, с повторным делением на 2 и получением остатка.

Пример:
Разделим $101 0_{2}$ на $1 0_{2}$ .

$10$ делится на $10$ с результатом $1$ .
Остаток после деления $0_{2}$ .

Ответ:

1010_2 \div 10_2 = 1_2

2. Арифметика в восьмеричной системе счисления

Восьмеричная система имеет основание 8 и использует цифры от $0$ до $7$ . Преимущество восьмеричной системы — это компактность представления данных, так как она может быть легко переведена в двоичную.

2.1. Сложение в восьмеричной системе

Арифметика в восьмеричной системе основывается на тех же принципах, что и в других системах счисления, но с различием в том, что при сложении результат, равный $8$ , приводит к переносу в следующий разряд.

Пример:
Сложим $5_{8}$ и $4_{8}$ .

Ответ:

5_{8} + 4_{8} = 1 1_{8}

2.2. Умножение в восьмеричной системе

Умножение в восьмеричной системе выполняется по аналогии с десятичной, но с учетом восьмеричного основания.

Пример:
Умножим $6_8 \times 7_8$ .

$6 \times 7 = 42$ , переводим в восьмеричную систему: $42_{10} = 52_8$ .

Ответ:

6_8 \times 7_8 = 52_8

3. Арифметика в десятичной системе счисления

Десятичная система — самая распространенная в повседневной жизни. Операции с числами в десятичной системе просты и знакомы каждому.

3.1. Сложение и вычитание

Пример:

56 + 43 = 99

99 - 56 = 43

3.2. Умножение и деление

Пример:

12 \times 11 = 132

132 \div 11 = 12

4. Арифметика в шестнадцатеричной системе счисления

Шестнадцатеричная система используется в программировании для удобства представления двоичных чисел в компактном виде.

4.1. Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении чисел в шестнадцатеричной системе важно помнить, что числа от $A$ до $F$ соответствуют значениям от $10$ до $15$ в десятичной системе.

Пример:
Сложим $A_{1} 6$ и $5_{1} 6$ .

$A + 5 = 15 + 5 = 20_{10}$ , в шестнадцатеричной это $14_{16}$ .

Ответ:

A_{16} + 5_{16} = 14_{16}

4.2. Умножение в шестнадцатеричной системе

Пример:
$B_16 \times 3_16$ .

$B = 11_{10}$ , $3 = 3_{10}$ .
$11 \times 3 = 33_{10}$ , переводим в шестнадцатеричную систему: $33_{10} = 21_{16}$ .

Ответ:

B_{16} \times 3_{16} = 21_{16}

Заключение

Арифметика в различных системах счисления строится на тех же основных принципах, что и в десятичной системе. Однако для выполнения операций необходимо учитывать особенности каждой системы, такие как количество цифр, правила переноса и заимствования. Понимание арифметики в этих системах важно для работы с компьютерными данными, программированием и в математике.