Арифметика в различных системах счисления

Арифметика в разных системах счисления имеет особенности, связанные с основанием системы и количеством используемых цифр. Применение арифметических операций в этих системах важно для решения задач в информатике, математике и инженерии. В этом конспекте рассмотрены основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — в различных системах счисления: двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной.

1. Операции в двоичной системе счисления

Двоичная система (основание 2) использует только два символа: $00$ и $11$. Все арифметические операции выполняются аналогично десятичной системе, но с ограничением на два возможных значения для каждой цифры.

1.1. Сложение в двоичной системе

Сложение в двоичной системе напоминает сложение в десятичной, но с меньшими правилами. Основные правила:

• $0+0=00\; +\; 0\; =\; 0$
• $0+1=10\; +\; 1\; =\; 1$
• $1+0=11\; +\; 0\; =\; 1$
• $1+1=101\; +\; 1\; =\; 10$ (перенос на следующий разряд)

Пример:
Сложим $1011_{2}1011\_2$ и $1101_{2}1101\_2$.

1. $1+1=101\; +\; 1\; =\; 10$ (записываем 0, переносим 1)
2. $1+0+1=101\; +\; 0\; +\; 1\; =\; 10$ (записываем 0, переносим 1)
3. $0+1+1=100\; +\; 1\; +\; 1\; =\; 10$ (записываем 0, переносим 1)
4. $1+1+1=111\; +\; 1\; +\; 1\; =\; 11$ (записываем 1, переносим 1)

Ответ:

1.2. Вычитание в двоичной системе

Вычитание в двоичной системе также основано на принципе “заноса” (переноса единицы в случае необходимости).

Основные правила вычитания:

• $0-0=00\; -\; 0\; =\; 0$
• $1-0=11\; -\; 0\; =\; 1$
• $1-1=01\; -\; 1\; =\; 0$
• $0-1=10\; -\; 1\; =\; 1$ (с заимствованием из следующего разряда)

Пример:
Вычтем $1011_{2}1011\_2$ минус $110_{2}110\_2$.

1. $1-1=01\; -\; 1\; =\; 0$
2. $1-0=11\; -\; 0\; =\; 1$
3. $0-1=10\; -\; 1\; =\; 1$ (заимствуем 1)
4. $1-1=01\; -\; 1\; =\; 0$

Ответ:

1.3. Умножение в двоичной системе

Умножение в двоичной системе аналогично умножению в десятичной, но с ограничением на две цифры.

Пример умножения:

$110_2\times 101_{2}110\_2\; \backslash times\; 101\_2$:

1. Умножаем $110_{2}110\_2$ на 1: $110_{2}110\_2$
2. Умножаем $110_{2}110\_2$ на 0 и сдвигаем на 1 позицию: $000_{2}000\_2$
3. Умножаем $110_{2}110\_2$ на 1 и сдвигаем на 2 позиции: $11000_{2}11000\_2$

Ответ:

1.4. Деление в двоичной системе

Деление в двоичной системе аналогично делению в десятичной, с повторным делением на 2 и получением остатка.

Пример:
Разделим $1010_{2}1010\_2$ на $10_{2}10\_2$.

1. $1010$ делится на $1010$ с результатом $11$.
2. Остаток после деления $0_{2}0\_2$.

Ответ:

2. Арифметика в восьмеричной системе счисления

Восьмеричная система имеет основание 8 и использует цифры от $00$ до $77$. Преимущество восьмеричной системы — это компактность представления данных, так как она может быть легко переведена в двоичную.

2.1. Сложение в восьмеричной системе

Арифметика в восьмеричной системе основывается на тех же принципах, что и в других системах счисления, но с различием в том, что при сложении результат, равный $88$, приводит к переносу в следующий разряд.

Пример:
Сложим $5_{8}5\_8$ и $4_{8}4\_8$.

Ответ:

2.2. Умножение в восьмеричной системе

Умножение в восьмеричной системе выполняется по аналогии с десятичной, но с учетом восьмеричного основания.

Пример:
Умножим $6_8\times 7_{8}6\_8\; \backslash times\; 7\_8$.

1. $6\times 7=426\; \backslash times\; 7\; =\; 42$, переводим в восьмеричную систему: $42_{10}=52_{8}42\_\{10\}\; =\; 52\_8$.

Ответ:

3. Арифметика в десятичной системе счисления

Десятичная система — самая распространенная в повседневной жизни. Операции с числами в десятичной системе просты и знакомы каждому.

3.1. Сложение и вычитание

Пример:

3.2. Умножение и деление

Пример:

4. Арифметика в шестнадцатеричной системе счисления

Шестнадцатеричная система используется в программировании для удобства представления двоичных чисел в компактном виде.

4.1. Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении чисел в шестнадцатеричной системе важно помнить, что числа от $AA$ до $FF$ соответствуют значениям от $1010$ до $1515$ в десятичной системе.

Пример:
Сложим $A_{1}6A\_16$ и $5_{1}65\_16$.

1. $A+5=15+5=20_{10}A\; +\; 5\; =\; 15\; +\; 5\; =\; 20\_\{10\}$, в шестнадцатеричной это $14_{16}14\_\{16\}$.

Ответ:

4.2. Умножение в шестнадцатеричной системе

Пример:
$B_{1}6\times 3_{1}6B\_16\; \backslash times\; 3\_16$.

1. $B=11_{10}B\; =\; 11\_\{10\}$, $3=3_{10}3\; =\; 3\_\{10\}$.
2. $11\times 3=33_{10}11\; \backslash times\; 3\; =\; 33\_\{10\}$, переводим в шестнадцатеричную систему: $33_{10}=21_{16}33\_\{10\}\; =\; 21\_\{16\}$.

Ответ:

Заключение

Арифметика в различных системах счисления строится на тех же основных принципах, что и в десятичной системе. Однако для выполнения операций необходимо учитывать особенности каждой системы, такие как количество цифр, правила переноса и заимствования. Понимание арифметики в этих системах важно для работы с компьютерными данными, программированием и в математике.