Законы идеального газа
Законы идеального газа описывают, как изменяются давление \(p\), объём \(V\) и температура \(T\) данной массы газа. Если одна из этих величин постоянна, получают изопроцесс; если изменяются все три, используют общее уравнение состояния газа.
Что описывает состояние газа
Газ характеризуют тремя основными макроскопическими величинами: давлением \(p\), объёмом \(V\) и абсолютной температурой \(T\). Давление связано с ударами молекул о стенки сосуда, объём — с пространством, которое занимает газ, а температура отражает среднюю кинетическую энергию движения молекул. Перед изучением законов важно повторить понятия идеального газа и температуры.
Идеальный газ — модель газа, в которой размеры молекул и их взаимодействие вне столкновений считают пренебрежимо малыми. Законы идеального газа хорошо применяются к разреженным газам при обычных условиях.
В газовых законах температура должна быть выражена в кельвинах, а не в градусах Цельсия. Перевод выполняют так: \(T=t+273\), где \(t\) — температура в градусах Цельсия. Объём обычно измеряют в \(\text{м}^3\), давление — в паскалях, но в одной задаче можно использовать и другие согласованные единицы.
В формулах для газов используйте абсолютную температуру: \(T\) в кельвинах. Нельзя непосредственно подставлять \(20\ ^\circ\text{C}\) вместо \(20\ \text{К}\).
Объединённый газовый закон
Для неизменной массы одного и того же газа отношение произведения давления на объём к абсолютной температуре остаётся постоянным. Это объединяет три частных закона и позволяет сравнивать два состояния газа.
Если масса газа постоянна, то для начального и конечного состояний выполняется равенство: произведение \(pV\) изменяется пропорционально температуре \(T\).
Индекс 1 обозначает начальное состояние, индекс 2 — конечное. Из формулы можно найти любую неизвестную величину. Например, конечное давление равно \(p_2=\frac{p_1V_1T_2}{T_1V_2}\). Этот закон связан с уравнением состояния газа, но для задач с одной и той же массой часто достаточно приведённой записи.
| Величина | Обозначение | Единица СИ |
|---|---|---|
| Давление | \(p\) | паскаль, Па |
| Объём | \(V\) | кубический метр, м³ |
| Абсолютная температура | \(T\) | кельвин, К |
| Масса газа | \(m\) | килограмм, кг |
Три изопроцесса
Изопроцесс — изменение состояния газа при постоянстве одной из величин \(p\), \(V\) или \(T\). Каждый изопроцесс имеет собственный закон. Подробное объединение этих случаев рассматривается в теме изопроцессы.
Изотермический процесс
При изотермическом процессе температура постоянна: \(T=\text{const}\). Тогда из объединённого закона следует, что давление обратно пропорционально объёму: при увеличении объёма давление уменьшается.
При постоянной температуре произведение давления газа на его объём постоянно. График зависимости \(p(V)\) имеет вид гиперболы.
Изобарный процесс
При изобарном процессе давление постоянно: \(p=\text{const}\). Объём прямо пропорционален абсолютной температуре: при нагревании газ расширяется, если сосуд или поршень позволяет ему двигаться.
При постоянном давлении отношение объёма газа к абсолютной температуре постоянно. В координатах \(V(T)\) график — прямая, проходящая через начало координат, если температуру отсчитывают в кельвинах.
Изохорный процесс
При изохорном процессе объём постоянен: \(V=\text{const}\). Давление прямо пропорционально абсолютной температуре: нагревание газа в закрытом жёстком сосуде повышает давление.
При постоянном объёме отношение давления газа к абсолютной температуре постоянно. При увеличении температуры в 2 раза давление также увеличивается в 2 раза.
Газ нагрели при постоянном объёме от \(300\ \text{К}\) до \(600\ \text{К}\). Как изменилось давление?
Разобранный пример
В сосуде находится газ при давлении \(100\ \text{кПа}\), объёме \(2\ \text{л}\) и температуре \(300\ \text{К}\). Газ сжали до объёма \(1\ \text{л}\) и нагрели до \(450\ \text{К}\). Найдём конечное давление.
Масса газа постоянна, поэтому применяем объединённый газовый закон. Все температуры уже даны в кельвинах, а отношение объёмов можно оставить в литрах, так как единицы одинаковы.
Ответ: конечное давление равно \(300\ \text{кПа}\). Оно увеличилось втрое: сжатие уменьшило объём в 2 раза, а нагревание увеличило абсолютную температуру в 1,5 раза. Поэтому давление изменилось в \(2\cdot1{,}5=3\) раза.
Алгоритм решения и частые ошибки
- Определите начальное и конечное состояния газа.
- Запишите известные значения \(p\), \(V\), \(T\) для каждого состояния.
- Переведите температуру в кельвины.
- Выберите общий закон или частный закон изопроцесса.
- Выразите неизвестную величину и проверьте единицы.
- Оцените результат: например, сжатие обычно повышает давление при неизменной температуре.
1. Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов. 2. Перепутаны прямая и обратная пропорциональности: при постоянной температуре \(p\) обратно пропорционально \(V\), а при постоянном объёме \(p\) прямо пропорционально \(T\). 3. Использование закона для постоянной массы, когда газ выходит из сосуда или добавляется в него. 4. Неверное чтение условия: «сосуд жёсткий» обычно означает постоянный объём, а «поршень свободно движется при постоянной нагрузке» — постоянное давление.
Сравните изменения качественно. Если температура выросла, а объём уменьшился, давление должно увеличиться. Если вычисления дают уменьшение давления, проверьте формулу и единицы.
Связь с газовыми законами
Частные зависимости объединяют в теме газовые законы. На практике важно распознать условие постоянства: температура постоянна — закон Бойля — Мариотта; давление постоянно — закон Гей-Люссака; объём постоянно — закон Шарля. Графики таких процессов удобно строить по правилам страницы построение графиков изопроцессов. Применение формул к нагреванию, охлаждению, сжатию и расширению разобрано в разделе применение законов газа.
Итоговая проверка
Главное
- Для неизменной массы газа действует закон \(\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\).
- Температуру в формулах выражают в кельвинах.
- Изотермический процесс: \(pV=\text{const}\); изобарный: \(V/T=\text{const}\); изохорный: \(p/T=\text{const}\).
- При решении сначала переводят единицы, затем выбирают закон, выражают неизвестную величину и проверяют смысл ответа.
- Изменение массы газа нарушает условия применения этих законов.