Условия равновесия
Равновесие означает, что тело не изменяет своего движения: покоящееся тело остаётся в покое, а движущееся прямолинейно и равномерно продолжает движение. В задачах ОГЭ чаще всего рассматривают тело, находящееся в покое под действием нескольких сил, и используют два условия: равенство нулю равнодействующей силы и равенство нулю суммы моментов.
Что называют равновесием
На тело могут действовать сила тяжести, реакция опоры, сила натяжения, сила трения и другие силы. Если их действие взаимно компенсируется, тело находится в равновесии. Для поступательного движения важно, чтобы силы не сообщали телу ускорение. Для вращательного движения важно, чтобы силы не создавали углового ускорения.
Равновесие тела — состояние, при котором его ускорение равно нулю. В школьных задачах это означает отсутствие поступательного и вращательного ускорения.
Тело находится в равновесии, если одновременно выполняются условия: равнодействующая всех сил равна нулю, а алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой выбранной точки равна нулю.
Первое условие применяют к поступательному движению. В координатной форме его записывают отдельно по осям: \(\sum F_x=0\) и \(\sum F_y=0\). Второе условие необходимо, когда тело может вращаться, например когда оно закреплено на оси или опирается на точку.
Силы и их проекции
Решение начинают с изображения тела и всех сил, действующих на него. Удобно выбрать оси координат так, чтобы одна из них была направлена вдоль возможного движения или вдоль поверхности. Направление каждой силы показывают стрелкой. При необходимости силу раскладывают на проекции по осям.
- Выделите тело, равновесие которого рассматривается.
- Изобразите все действующие силы: силу тяжести, реакцию опоры, натяжение, трение и другие.
- Выберите положительные направления осей.
- Запишите равенство сумм проекций сил нулю.
- Выразите неизвестную величину и проверьте единицы измерения.
Сила тяжести направлена вертикально вниз и равна \(F_\text{т}=mg\). Если тело покоится на горизонтальной опоре и других вертикальных сил нет, реакция опоры по модулю равна силе тяжести: \(N=mg\). При наличии дополнительных вертикальных сил это равенство может измениться.
Если сила направлена под углом к оси, используйте её проекции. Для угла \(\alpha\) с горизонталью: \(F_x=F\cos\alpha\), \(F_y=F\sin\alpha\). Всегда учитывайте знак проекции.
Брусок покоится на горизонтальном столе. Какие силы действуют на него, если трением пренебречь?
Момент силы и вращательное равновесие
Если сила может повернуть тело вокруг точки или оси, учитывают её момент. Подробное определение и способы вычисления разобраны на странице момента силы. Здесь достаточно помнить: момент зависит от силы и от её плеча — кратчайшего расстояния от оси вращения до линии действия силы.
Момент измеряют в Н·м. Если сила вращает тело против часовой стрелки, её момент можно считать положительным, а если по часовой стрелке — отрицательным. Тогда условие вращательного равновесия записывают как равенство суммы моментов нулю.
Для рычага, на который действуют две силы по разные стороны от опоры, это условие принимает вид \(F_1l_1=F_2l_2\). Большая сила может уравновешиваться меньшей, если её плечо меньше или больше соответственно.
Алгоритм решения задач
В задачах на равновесие недостаточно просто перечислить силы. Нужно выбрать точку или ось, относительно которой удобно считать моменты. Если неизвестная сила приложена в этой точке, её момент равен нулю, и уравнение становится короче.
- Прочитайте условие и определите, покоится ли тело.
- Сделайте рисунок и обозначьте точку опоры или ось вращения.
- Нанесите силы и укажите их плечи.
- Запишите уравнение проекций сил, если нужно найти поступательное равновесие.
- Запишите сумму моментов относительно удобной точки.
- Решите полученные уравнения и оцените ответ: сила должна быть неотрицательной, а единица — соответствовать искомой величине.
Рычаг имеет опору в точке O. Слева на расстоянии \(l_1=0{,}20\) м действует сила \(F_1=30\) Н. Справа на расстоянии \(l_2=0{,}60\) м подвешен груз. Найдите силу \(F_2\), при которой рычаг находится в равновесии.
Ответ: \(F_2=10\) Н. Меньшая сила уравновешивает большую, потому что приложена на плече, в три раза большем: \(0{,}60/0{,}20=3\).
Особые случаи и связь с другими темами
Если тело стоит на наклонной плоскости, силу тяжести раскладывают на составляющие вдоль и перпендикулярно плоскости. Реакция опоры компенсирует перпендикулярную составляющую, а сила трения может компенсировать составляющую вдоль плоскости. При решении полезно помнить, что сила трения зависит от реакции опоры.
Точка приложения силы тяжести связана с центром тяжести. Если вертикальная линия действия силы тяжести проходит через область опоры, тело может сохранять равновесие. Если линия выходит за пределы опоры, тело опрокидывается. Понятие опоры помогает правильно определить, какие силы действуют на тело.
1. Считают момент как \(F\cdot r\), хотя нужно брать именно перпендикулярное плечо \(l\). 2. Забывают одну из сил на рисунке. 3. Складывают моменты без учёта направлений вращения. 4. Используют сантиметры вместе с метрами. 5. Пишут \(N=mg\) даже тогда, когда есть дополнительная вертикальная сила. 6. Проверяют только сумму сил и забывают о возможности вращения.
Для покоя тела нужны оба условия: \(\sum\vec F=0\) и \(\sum M=0\). Если рассматривается только движение вдоль одной прямой, часто достаточно уравнения проекций сил, но при наличии рычага или оси обязательно проверяйте моменты.
Быстрая проверка
Главное
- Равновесие тела означает отсутствие поступательного и вращательного ускорения.
- Условия равновесия: \(\sum\vec F=0\) и \(\sum M=0\).
- Для сил используют проекции на выбранные оси: \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\).
- Момент силы вычисляют по формуле \(M=Fl\), где \(l\) — перпендикулярное плечо.
- В задачах на рычаг применяют равенство моментов \(F_1l_1=F_2l_2\).
- Надёжное решение начинается с рисунка, на котором показаны тело, все силы, опора и плечи.