Основное уравнение МКТ
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с движением его молекул. Оно показывает: давление тем больше, чем больше масса молекул, их концентрация и средняя скорость движения.
От чего возникает давление газа
Согласно постулатам молекулярно-кинетической теории, молекулы газа непрерывно и хаотично движутся. Сталкиваясь со стенками сосуда, они изменяют свою скорость и передают стенке импульс. Миллиарды таких ударов за единицу времени создают давление газа.
В модели идеального газа молекулы считают очень маленькими по сравнению с расстояниями между ними, а их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Направления движения молекул различны, поэтому в среднем газ давит на стенки одинаково во всех направлениях.
Давление — физическая величина, равная отношению силы давления, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности: \(p=\frac{F}{S}\). Единица давления в СИ — паскаль: \(1\ \text{Па}=1\ \text{Н}/\text{м}^2\).
Для описания газа важны три величины: \(m_0\) — масса одной молекулы, \(n\) — концентрация молекул и \(\overline{v^2}\) — среднее значение квадрата скорости молекул. Концентрация показывает, сколько молекул приходится на единицу объёма: \(n=\frac{N}{V}\).
Здесь \(N\) — число молекул в объёме \(V\). Концентрация измеряется в \(\text{м}^{-3}\). Важно не путать среднюю скорость \(\overline v\) со средней величиной квадрата скорости \(\overline{v^2}\): в основном уравнении используется именно \(\overline{v^2}\).
Основное уравнение МКТ
Результат рассмотрения ударов молекул о стенки выражается основным уравнением МКТ. Оно связывает макроскопическое давление с микроскопическими характеристиками частиц газа.
Давление идеального газа равно одной трети произведения массы одной молекулы, концентрации молекул и среднего значения квадрата их скоростей: \(p=\frac{1}{3}m_0n\overline{v^2}\).
Из формулы следует качественная связь: при неизменных остальных величинах давление прямо пропорционально \(m_0\), \(n\) и \(\overline{v^2}\). Если концентрация увеличилась в 2 раза, давление также увеличится в 2 раза. Если скорости всех молекул увеличились в 2 раза, то \(\overline{v^2}\) увеличится в 4 раза, а давление — тоже в 4 раза.
Коэффициент \(\frac13\) появляется потому, что движение молекул беспорядочно: в среднем одинаковая доля движения приходится на три взаимно перпендикулярных направления. Давление на выбранную стенку создаётся только составляющей движения перпендикулярно этой стенке.
Вывод и преобразования формулы
Для одной молекулы масса и скорость определяют её кинетический эффект при ударе. Увеличение числа молекул в том же объёме увеличивает частоту ударов, поэтому давление зависит от концентрации. Суммирование действия всех молекул приводит к формуле:
Эта запись подчёркивает физический смысл: давление пропорционально концентрации частиц и их средней кинетической энергии. При нагревании газа молекулы в среднем движутся быстрее, поэтому давление может увеличиваться, если объём не меняется. Связь давления, объёма и температуры подробно используется в законах газа.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул связана с температурой: \(\overline{E_k}=\frac32kT\), где \(k\) — постоянная Больцмана, а \(T\) — абсолютная температура в кельвинах. Поэтому \(p=nkT\).
Во сколько раз изменится давление, если концентрация молекул увеличится в 3 раза, а средняя скорость молекул не изменится?
Как решать тапсырма по уравнению МКТ
Перед вычислениями проверьте единицы: массу молекулы переводят в килограммы, объём — в кубические метры, скорость — в метры в секунду. Если известна не средняя скорость, а её квадрат, подставляют данное значение непосредственно. Если дана средняя скорость \(\overline v\), сначала находят \(\overline{v^2}\) только в рамках условия, где это допускается.
В сосуде концентрация молекул \(n=2\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}\), масса молекулы \(m_0=4\cdot10^{-26}\ \text{кг}\), средний квадрат скорости \(\overline{v^2}=9\cdot10^4\ \text{м}^2/\text{с}^2\). Найдём давление.
Составьте отношение нового давления к старому: \(\frac{p_2}{p_1}=\frac{m_{02}}{m_{01}}\cdot\frac{n_2}{n_1}\cdot\frac{\overline{v_2^2}}{\overline{v_1^2}}\). Так часто можно решить тапсырманы без вычисления самого давления.
Не забывайте коэффициент \(\frac13\) и квадрат скорости. Не подставляйте температуру вместо скорости в основное уравнение без перехода к формуле \(p=nkT\). Концентрация — это число молекул на объём, а не масса газа на объём. Следите за единицами СИ: давление получится в паскалях только при согласованных единицах.
Связь с другими формулами газа
Основное уравнение МКТ объясняет макроскопические свойства газа через движение молекул. Объединив его с формулой \(p=nkT\), можно понять, почему при постоянной концентрации нагревание увеличивает давление. Если же газ расширяется, концентрация \(n=N/V\) уменьшается, и давление может оставаться постоянным или изменяться по другому закону — в зависимости от условий процесса.
В задачах на графики важно смотреть, какая величина постоянна. Например, при постоянных \(m_0\) и \(n\) зависимость давления от \(\overline{v^2}\) линейна и проходит через начало координат.
Итоговая проверка
Главное
- Давление возникает из-за ударов движущихся молекул о стенки сосуда.
- Основное уравнение МКТ: \(p=\frac13m_0n\overline{v^2}\).
- Давление прямо пропорционально массе одной молекулы, концентрации и среднему квадрату скорости.
- Концентрация равна \(n=\frac NV\), а средняя кинетическая энергия связана с давлением формулой \(p=\frac23n\overline{E_k}\).
- При решении тапсырма обязательно используйте единицы СИ и не забывайте квадрат скорости и множитель \(\frac13\).