Чтение линейного графика
Линейный график показывает, как одна величина изменяется при изменении другой. Чтобы решить задачу по нему, нужно научиться читать координаты точек, сравнивать значения, находить разность и определять, возрастает или убывает величина.
Что такое линейный график
Линейный график — это изображение зависимости одной величины от другой на координатной плоскости. Обычно по горизонтальной оси откладывают независимую величину: время, номер месяца, расстояние или год. По вертикальной оси откладывают величину, которая от неё зависит: температуру, стоимость, массу, объём и так далее.
Линейный график — график, на котором значения величины представлены точками, соединёнными отрезками. Каждый отрезок показывает изменение величины между двумя соседними значениями по горизонтальной оси.
Перед чтением графика полезно вспомнить, как устроены графики, и проверить, что обозначают оси, какие единицы измерения указаны и какой шаг выбран на шкале. Координаты точки читают так: сначала находят значение по горизонтальной оси, затем поднимаются или опускаются до графика и считывают значение по вертикальной оси. Подробный приём чтения координат разобран на странице «Координаты точки на графике».
Как читать значения по графику
Алгоритм чтения значения состоит из нескольких действий.
- Найдите на горизонтальной оси нужное значение независимой величины.
- Проведите мысленно вертикаль до пересечения с графиком.
- Из точки пересечения проведите мысленно горизонталь к вертикальной оси.
- Считайте значение зависимой величины с учётом делений и единиц измерения.
Если требуется узнать значение величины в конкретный момент, ищут точку графика с соответствующей первой координатой. Например, если по оси времени отмечены часы, а по вертикальной оси — температура, то для нахождения температуры в 15 часов нужно найти отметку 15, выйти к линии и прочитать значение температуры.
Сначала определите, что измеряется по каждой оси. Одинаковые числа на разных осях могут иметь разные единицы измерения и разный смысл.
На графике по горизонтальной оси отложено время \(t\) в часах, по вертикальной — расстояние \(s\) в километрах. Что означает точка с координатами \((3; 12)\)?
Сравнение точек и значений
По графику можно сравнивать значения величины в разные моменты или при разных значениях независимой переменной. Для этого находят соответствующие точки и сравнивают их вторые координаты. Если одна точка расположена выше другой, значение зависимой величины в ней больше.
Для точек с одинаковой первой координатой сравнивают вторые координаты. Чем выше точка на графике, тем больше значение зависимой величины.
Вопрос «на сколько больше» требует найти разность значений: из большего значения вычитают меньшее. Вопрос «во сколько раз больше» требует найти частное большего значения и меньшего, если меньшее значение не равно нулю.
Величину \(\Delta y\) называют изменением значения. Если результат положительный, величина увеличилась; если отрицательный — уменьшилась; если равен нулю — не изменилась.
- «На сколько изменилось» — обычно находят разность, сохраняя знак.
- «На сколько увеличилось» — из конечного значения вычитают начальное, результат положительный.
- «На сколько уменьшилось» — из начального значения вычитают конечное, результат положительный.
- «Во сколько раз» — делят одно значение на другое.
Возрастание, убывание и изменение на участке
Если при движении слева направо график поднимается, величина возрастает. Если график опускается, величина убывает. Горизонтальный участок означает, что величина сохраняется постоянной, хотя независимая переменная меняется.
Чтобы определить изменение величины от значения \(x_1\) до значения \(x_2\), найдите значения \(y_1\) и \(y_2\) на графике и вычислите \(\Delta y=y_2-y_1\). Начальная точка соответствует \(x_1\), конечная — \(x_2\).
Важно учитывать направление движения по оси. Если требуется изменение от \(x=8\) до \(x=5\), начальным будет значение при \(x=8\), а конечным — значение при \(x=5\). Нельзя автоматически вычитать значения в порядке слева направо, если в условии задано обратное направление.
Не путайте изменение величины и её значение. Если график показывает, что при \(x=4\) величина равна \(10\), ответ на вопрос «как изменилась величина от \(x=2\) до \(x=4\)» не может быть просто \(10\): нужно найти оба значения и вычислить их разность.
Разобранный пример
На линейном графике показано расстояние \(s\) от пункта отправления в зависимости от времени \(t\). По графику видно: при \(t=2\) ч расстояние равно \(40\) км, а при \(t=5\) ч — \(100\) км. Определите, на сколько километров увеличилось расстояние и во сколько раз оно стало больше.
Нужно сравнить конечное значение с начальным. Начальное время — \(2\) ч, конечное — \(5\) ч. Поэтому \(s_1=40\) км, \(s_2=100\) км.
- Находим изменение расстояния: из конечного значения вычитаем начальное. — s=s_2-s_1=100-40=60 км
- Чтобы узнать, во сколько раз расстояние стало больше, делим конечное значение на начальное. — s_2s_1=10040=2,5
- Формулируем ответ с единицами и отношением. — Расстояние увеличилось на 60 км и стало в 2,5 раза больше.
Если бы спрашивалось, как изменялось расстояние между двумя моментами, достаточно было бы указать знак и величину изменения: \(\Delta s=60\) км, значит, расстояние увеличилось.
Как решать задания по линейному графику
- Прочитайте название графика и подписи осей.
- Проверьте единицы измерения и цену деления шкалы.
- Отметьте на горизонтальной оси нужные значения.
- Считайте соответствующие значения по вертикальной оси.
- Если нужно сравнение, выберите разность или отношение согласно формулировке.
- Проверьте знак, единицы измерения и смысл полученного ответа.
При работе с несколькими участками графика обращайте внимание на точки перелома. На каждом участке величина может изменяться по-разному: возрастать, убывать или оставаться постоянной. Если вопрос относится только к одному промежутку, не используйте значения за его пределами.
Линейный график иногда требуется сопоставить с таблицей: значения точек можно выписать в таблицу, а затем сравнить. Обратный навык описан на странице «Преобразование графика в таблицу». Если нужно выбрать подходящий способ представления данных, полезно обратиться к странице «Выбор формы представления данных».
Не считывайте значение «на глаз» между делениями, если шкала позволяет определить его точнее. Сначала установите цену деления: расстояние между соседними подписанными отметками может содержать несколько маленьких делений.
Быстрая проверка
Главное
- Сначала определяйте, что обозначают оси и в каких единицах измеряются величины.
- Координаты точки читают в порядке \((x;y)\): сначала горизонтальная, затем вертикальная координата.
- Чтобы найти изменение, вычисляют \(\Delta y=y_2-y_1\).
- Подъём графика слева направо означает возрастание, спуск — убывание, горизонтальный участок — постоянство.
- Вопрос «на сколько» требует разности, а вопрос «во сколько раз» — отношения значений.