Виды соударений
Основные понятия и законы сохранения
Соударение — это быстрое взаимодействие между телами, при котором за малый промежуток времени меняются их скорости и иногда внутреннее состояние. Чтобы описать соударение, вводят такие величины как импульс и кинетическая энергия, а также понятие импульса силы. В классической механике основными законами, которые применимы к замкнутой системе частиц при соударении, являются закон сохранения импульса и, в частном случае, закон сохранения полной механической энергии.
Импульс одной частицы традиционно обозначается через \(p = m v\). При действии большой внутренней силы в течение короткого времени удобно говорить об импульсе силы, который равен изменению импульса тела — это выражается через \(J = \Delta p = p'' - p\). Консервация импульса для двух тел при отсутствии внешних сил записывается как \(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}'' + m_{2} v_{2}''\).
физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость, характеризует количество движения тела и сохраняется в замкнутой системе при отсутствии внешних сил.
скалярная величина, равная \(K = \frac{1}{2} m v^{2}\), показывает, сколько механической работы может выполнить тело при торможении.
Классификация по сохранению кинетической энергии
В зависимости от того, сохраняется или не сохраняется кинетическая энергия при соударении, выделяют три основных вида: упругое, неупругое и совершенно неупругое соударения. Для упругого соударения сумма кинетических энергий до и после взаимодействия остается неизменной, это формулируется как \(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}''^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}''^{2}\). Для неупругого соударения часть кинетической энергии переходит в другие формы энергии (тепло, деформация, внутреннее возбуждение), и сумма кинетических энергий уменьшается.
соударение, при котором сохраняется полная кинетическая энергия системы частиц, помимо сохранения импульса.
соударение, при котором импульс системы сохраняется, а кинетическая энергия частично переходит в другие формы энергии.
Пример качественной оценки: если две шарики сталкиваются упруго, их суммарная кинетическая энергия до и после столкновения совпадает по модулю, что можно проверить измерениями скоростей и подстановкой в \(K = \frac{1}{2} m v^{2}\) и сравнив с равенством \(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}''^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}''^{2}\).
Упругие соударения в одном измерении (центральные)
Рассмотрим два тела массами m1 и m2, движущиеся по одной прямой с начальными скоростями v1 и v2. При отсутствии внешних сил выполняются два соотношения: сохранение импульса \(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}'' + m_{2} v_{2}''\) и сохранение кинетической энергии \(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}''^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}''^{2}\). Решение этой системы даёт формулы для скоростей после соударения при центральном упругом ударе:
Скорости после соударения выражаются следующими формулами: для первого тела это \(v_{1}'' = \displaystyle\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \displaystyle\frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2}\), а для второго — \(v_{2}'' = \displaystyle\frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \displaystyle\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2}\). Эти выражения позволяют предсказать, какая часть кинетической энергии и импульса перейдёт от одного тела к другому в зависимости от отношения масс и начальных скоростей.
Удобно рассматривать движение в системе центра масс, где скорость центра масс задаётся формулой \(v_{\mathrm{cm}} = \displaystyle\frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\). В системе центра масс упругое центральное соударение выглядит как простая инверсия относительной скорости: до соударения относительная скорость равна \(v_{1} - v_{2} = -\left(v_{1}'' - v_{2}''\right)\), после — изменяет знак (в идеале становится равной по модулю и противоположной по направлению), что связано с коэффициентом восстановления при e=1.
Численный пример: пусть m1 = \(J = \displaystyle\int F(t) \, dt\), v1 = \(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\), m2 = \(e = \displaystyle\frac{|v_{2}'' - v_{1}''|}{|v_{1} - v_{2}|}\), v2 = \(e=1\). Подставляя эти значения в формулы \(v_{1}'' = \displaystyle\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \displaystyle\frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2}\) и \(v_{2}'' = \displaystyle\frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \displaystyle\frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2}\), получаем скорости после соударения, которые можно проверить на сохранение импульса \(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}'' + m_{2} v_{2}''\) и энергии \(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}''^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}''^{2}\).
Неупругие и совершенно неупругие соударения
При неупругих соударениях часть кинетической энергии системы переходит в другие формы. Однако импульс системы по-прежнему сохраняется — это общее требование закона сохранения импульса. Частный случай неупругого столкновения — совершенно неупругое, когда тела слипаются и движутся после столкновения как одно целое с общей скоростью v'', которую можно найти из закона сохранения импульса: \(v'' = \displaystyle\frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\).
Потеря кинетической энергии при таком соударении оценивается выражением \(\Delta K = \displaystyle\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v''^{2}\), где начальные скорости и массы подставляются в соответствующие слагаемые. Эта потеря равна количеству энергии, превращённой в тепловую энергию, деформацию или внутренние возбуждения в материале.
Пример вычисления: два тела массами m1 и m2 со скоростями v1 и v2 слипаются при полностью неупругом ударе. Найдите общую скорость v'' по формуле \(v'' = \displaystyle\frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\) и потерю кинетической энергии по формуле \(\Delta K = \displaystyle\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v''^{2}\).
Коэффициент восстановления и общий подход к соударениям
Коэффициент восстановления e — числовая характеристика «упругости» соударения, определяемая как отношение модулей относительных скоростей после и до соударения. В одномерной постановке он даётся формулой \(e = \displaystyle\frac{v_{2}'' - v_{1}''}{v_{1} - v_{2}}\). Для идеального упругого соударения e = \(e = \displaystyle\frac{|v_{2}'' - v_{1}''|}{|v_{1} - v_{2}|}\), для абсолютно неупругого e = \(e=0\), где эти численные значения соответствуют физическим пределам.
Общий алгоритм решения задач про соударения включает несколько шагов: 1) выбор системы отсчёта и направления оси; 2) запись закона сохранения импульса \(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}'' + m_{2} v_{2}''\); 3) при необходимости запись закона сохранения энергии \(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}''^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}''^{2}\) или уравнения с коэффициентом восстановления \(e = \displaystyle\frac{v_{2}'' - v_{1}''}{v_{1} - v_{2}}\); 4) решение системы уравнений; 5) анализ потерь и проверка на физическую адекватность (направления, знаки, пределы скоростей).
безразмерная величина, характеризующая, какая часть относительной скорости сохраняется после соударения; определяется как \(e = \displaystyle\frac{|v_{2}'' - v_{1}''|}{|v_{1} - v_{2}|}\) и может лежать в диапазоне от \(e=0\) до \(e\in[0,1]\).
Задача: при столкновении шаров m1 и m2 измерены скорости до и после удара. По измеренным скоростям определите e по формуле \(e = \displaystyle\frac{v_{2}'' - v_{1}''}{v_{1} - v_{2}}\), проверьте выполнение закона сохранения импульса \(m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}'' + m_{2} v_{2}''\) и вычислите расход кинетической энергии по формуле \(\Delta K = \displaystyle\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v''^{2}\).
Соударения в двух и трёх измерениях, угловой момент
В общем случае соударения происходят в пространстве, и скорости представляют векторные величины. Закон сохранения импульса действует по вектору: суммарный векторный импульс до равен суммарному импульсу после. При отсутствии внешних моментов сохраняется также угловой момент, выражаемый через векторное произведение радиус-вектора на импульс, например \(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\).
Для решения задач в двумерном случае удобно разбивать скорости на компоненты по осям и применять законы сохранения по каждой проекции. При центральных соударениях, когда линии центров проходят через точку соприкосновения, задача упрощается до одномерного случая вдоль линии центров, а компоненты поперёк линии центров сохраняют свои значения.
Иллюстрация: удар шара о неподвижный шар того же радиуса при центральном столкновении передаст движение второму шару, оставив первый в покое в направлении, перпендикулярном линии центров остаются компоненты скоростей неизменными. См. схему на рисунке.
Практические замечания и типичные ошибки
При решении задач важно чётко указать направление осей и знаки скоростей: использование положительных и отрицательных значений скоростей часто решает проблему с неправильными результатами. Нельзя забывать, что закон сохранения кинетической энергии применим только для упругих процессов; иногда частицы меняют внутренние состояния, и тогда часть энергии уходит в ненаблюдаемые каналы.
Распространённая ошибка — попытка использовать формулу для общего итогового скоростей из совершенно неупругого удара при e ≠ 0. В таких случаях нужно применять либо общую систему уравнений с e (см. \(e = \displaystyle\frac{v_{2}'' - v_{1}''}{v_{1} - v_{2}}\)), либо полную систему из сохранения импульса и энергии, если e соответствует упругому случаю.