Равновесие рычага
Рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы не вызывают вращения ни по часовой стрелке, ни против неё. Для решения задач нужно выбрать ось вращения, найти плечи сил и применить правило моментов.
Что называют равновесием рычага
Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Примеры рычага: линейка на подставке, гаечный ключ, ножницы, весы с двумя чашами. Точка или линия, вокруг которой происходит вращение, называется осью вращения или опорой.
Рычаг находится в равновесии, если он не вращается и не изменяет поступательное движение. В простейшей задаче это означает, что сумма моментов всех сил относительно выбранной оси равна нулю.
Силы могут действовать на рычаг по-разному. Если сила стремится повернуть рычаг по часовой стрелке, её момент считают моментом одного знака; если против часовой стрелки — противоположного знака. При равновесии эти вращательные действия компенсируют друг друга.
Момент силы и правило моментов
Момент силы характеризует способность силы вращать тело относительно оси. Он зависит от значения силы и её плеча — кратчайшего расстояния от оси до линии действия силы.
Здесь \(M\) — модуль момента силы, \(F\) — модуль силы, а \(l\) — её плечо. В СИ момент измеряют в Н·м. Плечо равно расстоянию не до точки приложения силы, а до линии действия силы.
Для равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси, алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этой оси равна нулю: моменты, вращающие тело по часовой стрелке, равны моментам, вращающим его против часовой стрелки.
Если на рычаг действуют только две силы, направленные так, что одна вращает его по часовой стрелке, а другая — против, правило моментов записывают проще:
Алгоритм решения задач
- Изобразите рычаг и все действующие силы. Не забудьте вес самого рычага, если его нельзя считать пренебрежимо малым.
- Выберите ось вращения. Обычно удобно брать опору: тогда силы реакции опоры имеют нулевое плечо и не входят в уравнение моментов.
- Для каждой силы проведите линию действия и определите плечо — перпендикулярное расстояние до оси.
- Разделите моменты на два направления вращения: по часовой стрелке и против часовой стрелки.
- Запишите условие равновесия, подставьте данные в единицах СИ и проверьте размерность ответа.
Если сила направлена перпендикулярно рычагу, её плечо часто совпадает с расстоянием от точки приложения силы до опоры. Если сила направлена под углом, плечо находят геометрически или используют формулу \(M=F r\sin\alpha\), где \(r\) — расстояние от оси до точки приложения силы, а \(\alpha\) — угол между радиусом-вектором и силой.
К рычагу приложена сила \(F\) вдоль самого рычага. Чему равен её момент относительно опоры на этом же рычаге?
Разобранный пример: нахождение неизвестной силы
Однородный рычаг длиной \(1{,}2\ \text{м}\) опирается на ось в точке, находящейся на расстоянии \(0{,}4\ \text{м}\) от левого конца. На левый конец действует вертикальная сила \(30\ \text{Н}\) вниз. Какую вертикальную силу нужно приложить к правому концу, чтобы рычаг находился в равновесии? Весом рычага пренебречь.
Ответ: к правому концу нужно приложить силу \(15\ \text{Н}\) вниз. Большое плечо правой силы компенсирует её меньшее значение.
Вес рычага и несколько сил
У однородного рычага сила тяжести приложена в его центре масс — обычно в середине рычага. Если центр масс находится не на оси, вес рычага создаёт собственный момент и его нужно включить в уравнение.
При наличии нескольких сил можно выбрать положительное направление вращения и записать моменты со знаками. Например, если против часовой стрелки считается положительным направлением, то момент силы, вращающей по часовой стрелке, будет отрицательным.
Для сложных тел важно учитывать все внешние силы: приложенные нагрузки, силу тяжести, натяжение нити и реакцию опоры. При выборе оси в точке опоры момент реакции равен нулю, но это не означает, что сама реакция отсутствует.
1. Используют расстояние до точки приложения вместо перпендикулярного плеча. 2. Складывают силы вместо их моментов. 3. Забывают вес рычага или груза. 4. Не переводят сантиметры в метры. 5. Считают реакцию опоры равной нулю: у неё может быть нулевой момент относительно выбранной оси, но сама сила обычно ненулевая. 6. Не различают направления вращения и приравнивают моменты сил, которые вращают тело в одну сторону.
Равновесие других вращающихся тел
Правило моментов применяют не только к прямому рычагу. Оно работает для ворот, колёс, блоков, стержней, весов и любых тел, которые могут вращаться вокруг оси. Главное условие — тело должно быть неподвижным или вращаться равномерно, без углового ускорения.
Для полного равновесия свободного тела одного условия моментов недостаточно: должна также выполняться сумма внешних сил, равная нулю. Если тело закреплено на оси, реакция опоры обеспечивает отсутствие поступательного движения, а правило моментов отвечает за отсутствие вращения.
Если сила приложена дальше от опоры, она должна быть меньше при том же компенсирующем моменте. Поэтому в формуле \(F_1l_1=F_2l_2\) большему плечу соответствует меньшая сила. Если получилось наоборот, проверьте плечи и единицы измерения.
Быстрая проверка
Главное
- Момент силы равен произведению силы на её перпендикулярное плечо: \(M=Fl\).
- При равновесии сумма моментов относительно любой удобной оси равна нулю.
- Для двух сил на рычаге: \(F_1l_1=F_2l_2\).
- Ось удобно выбирать в опоре: момент реакции опоры тогда равен нулю.
- Плечо — это расстояние до линии действия силы, а не обязательно до точки её приложения.
- Для полного равновесия тела учитывают и моменты, и сумму внешних сил.