Формула математического маятника
Математический маятник — идеальная модель тела, совершающего колебания под действием силы тяжести. В этом конспекте вы выведете формулу периода, научитесь находить длину нити и ускорение свободного падения, а также разберёте типичные задачи экзамена.
Модель математического маятника
Сначала полезно повторить устройство модели на странице «Математический маятник». Это небольшое тело, подвешенное на лёгкой нерастяжимой нити длиной \(l\). Тело считаем материальной точкой, сопротивлением воздуха и трением в подвесе пренебрегаем. После отклонения от положения равновесия груз начинает двигаться по дуге окружности.
Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Период зависит от длины нити и ускорения свободного падения, но не зависит от массы груза. Подробное объяснение этого свойства приведено на странице «Зависимость периода маятника от массы». При заметной амплитуде обычная формула становится приближённой, поэтому условия её применимости нужно знать.
Вывод формулы периода
Точный закон движения маятника описывается сложнее, чем гармоническое колебание. Но при малом угле отклонения справедливо приближение \(\sin\alpha\approx\alpha\), если угол выражен в радианах. Поэтому применяем теорию «малых колебаний».
На груз действуют сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити. Натяжение направлено вдоль нити и не вызывает движения по касательной. Касательная составляющая силы тяжести возвращает груз к равновесию: \(F_{\tau}=-mg\sin\alpha\). Знак «минус» показывает, что сила направлена против отклонения.
Для малых колебаний период математического маятника равен \(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\). Формула не содержит массу груза и амплитуду, если угол отклонения достаточно мал.
Из формулы сразу получаются обратные зависимости. Они особенно часто встречаются в заданиях на преобразование формул.
При увеличении длины маятника в \(4\) раза период увеличивается в \(2\) раза: \(T\sim\sqrt l\). При увеличении \(g\) период уменьшается: \(T\sim1/\sqrt g\).
Как изменится период маятника, если его длину увеличить в 9 раз?
Как решать задачи
Перед вычислениями определите, какая величина неизвестна, и выберите подходящую форму формулы. Все величины переведите в СИ: длину — в метры, период — в секунды. Для школьных расчётов обычно используют \(\pi^2\approx10\), если это допускает условие.
- Запишите исходную формулу \(T=2\pi\sqrt{l/g}\).
- Выразите неизвестную величину: \(l\) или \(g\).
- Проверьте единицы и подставьте числа.
- Оцените результат: период должен увеличиваться с длиной, а найденное \(g\) обычно близко к \(9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Маятник длиной \(l=1{,}0\ \text{м}\) совершает малые колебания. Найдите период при \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Показать решение Решение
Известны \(l=1{,}0\ \text{м}\) и \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\). Требуется найти \(T\).
Ответ: \(T\approx2{,}0\ \text{с}\). Такой результат согласуется с оценкой: маятник длиной около одного метра имеет период примерно две секунды.
Если в задаче известны длина и период, удобно находить ускорение свободного падения по формуле \(g=4\pi^2l/T^2\). Если дано число колебаний \(N\) за время \(t\), сначала находят период: \(T=t/N\). Это следует из определения периода как времени одного полного колебания.
Иногда маятник используют для измерения \(g\). Измеряют длину нити и время большого числа колебаний, чтобы уменьшить влияние ошибки запуска и остановки секундомера. Затем вычисляют период одного колебания и подставляют его в формулу.
Угол, амплитуда и применимость формулы
Формула \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) справедлива для малых колебаний. Угол отклонения должен быть небольшим; на практике в школьных задачах обычно считают допустимым угол примерно до \(10^\circ\)–\(15^\circ\). Обсуждение связи амплитуды и угла приведено на странице «Амплитуда и угол отклонения маятника».
При больших отклонениях период немного больше расчётного и начинает зависеть от амплитуды. Если условие прямо говорит о малых колебаниях или просто требует школьную формулу периода, используйте формулу (1). Если угол велик и требуется высокая точность, одной этой формулы недостаточно.
1. Подставлять длину в сантиметрах: сначала переведите её в метры. 2. Использовать массу груза в формуле периода: масса сокращается при выводе. 3. Путать период \(T\) и частоту \(\nu\): \(\nu=1/T\). 4. Забывать квадрат периода при нахождении \(g\) или длины. 5. Считать длиной только часть нити: \(l\) — расстояние от точки подвеса до центра груза.
Если длина увеличилась в \(k\) раз, период должен измениться в \(\sqrt{k}\) раз. Если ваш ответ изменился в \(k\) раз, скорее всего, корень потерян.
Связь с графиками и частотой
Координата груза при малых колебаниях изменяется почти гармонически: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\). Поэтому график координаты похож на синусоиду, а полный повтор движения происходит через время \(T\). О графиках колебаний подробнее рассказывает страница «Графики колебаний».
Частота — число колебаний за единицу времени — связана с периодом соотношением \(\nu=1/T\). Не смешивайте её с циклической частотой \(\omega=2\pi/T\). Эти величины встречаются и в задачах о волнах; определения частоты и периода можно повторить на страницах «Частота волны» и «Период волны».
Итоговая проверка
Главное
- Математический маятник — материальная точка на лёгкой нерастяжимой нити.
- Для малых колебаний \(T=2\pi\sqrt{l/g}\); масса груза в формулу не входит.
- Обратные формулы: \(l=gT^2/(4\pi^2)\) и \(g=4\pi^2l/T^2\).
- Если за время \(t\) произошло \(N\) колебаний, то \(T=t/N\).
- Формула требует малой амплитуды; длину и период перед подстановкой переводят в единицы СИ.