Задачи на электромагнитную индукцию
Задачи на электромагнитную индукцию сводятся к трём действиям: найти изменение магнитного потока, вычислить ЭДС индукции по закону Фарадея и определить направление индукционного тока по правилу Ленца. Перед решением полезно повторить электромагнитную индукцию и закон электромагнитной индукции.
1. Магнитный поток
Магнитный поток показывает, сколько магнитного поля проходит через выбранную поверхность. Для однородного поля и плоского контура используют угол \(\alpha\) между вектором магнитной индукции \(\vec B\) и нормалью к поверхности, то есть перпендикуляром к ней. Не следует путать этот угол с углом между полем и самой плоскостью контура.
Магнитный поток через плоскую площадку равен произведению магнитной индукции на площадь площадки и косинус угла между \(\vec B\) и нормалью к площадке: \(\Phi = BS\cos\alpha\). Единица магнитного потока в СИ — вебер, \(1\ \text{Вб}=1\ \text{Тл}\cdot\text{м}^2\).
- Если поле перпендикулярно плоскости контура, оно параллельно нормали: \(\alpha=0\), поэтому \(\Phi=BS\).
- Если поле лежит в плоскости контура, оно перпендикулярно нормали: \(\alpha=90^\circ\), поэтому \(\Phi=0\).
- Для катушки из \(N\) одинаковых витков потокосцепление равно \(N\Phi\), если поток через каждый виток одинаков.
2. ЭДС индукции и алгоритм решения
Закон электромагнитной индукции связывает ЭДС индукции с изменением магнитного потока. Знак минус отражает правило Ленца, а при нахождении только модуля ЭДС обычно используют абсолютное значение.
Модуль средней ЭДС индукции равен отношению изменения магнитного потока к промежутку времени. Для катушки с \(N\) витками изменение потока в каждом витке учитывается \(N\) раз.
Если поток меняется равномерно, эта формула даёт постоянную ЭДС. При мгновенном описании используют производную:
- Запишите известные величины и переведите их в СИ: площадь — в квадратные метры, время — в секунды.
- Найдите начальный и конечный потоки \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\).
- Вычислите \(|\Delta\Phi|=|\Phi_2-\Phi_1|\).
- Подставьте результат в формулу для ЭДС. Если спрашивают ток, примените закон Ома для полной цепи: \(I=\mathcal{E}/R\).
- Для направления сначала определите, увеличивается или уменьшается внешний поток, затем примените правило Ленца.
Плоский контур находится в однородном поле. Поле направлено вдоль плоскости контура. Чему равен магнитный поток?
3. Разобранный пример: движущийся стержень
Металлический стержень длиной \(l=0{,}20\ \text{м}\) движется со скоростью \(v=3{,}0\ \text{м/с}\) по проводящим направляющим. Направляющие замкнуты сопротивлением \(R=2{,}0\ \text{Ом}\). Система находится в однородном магнитном поле \(B=0{,}50\ \text{Тл}\), перпендикулярном плоскости контура. Найдём ЭДС индукции и ток.
При движении стержня площадь контура меняется. За время \(\Delta t\) она изменяется на \(\Delta S=l\,v\,\Delta t\). Поэтому магнитный поток меняется со скоростью \(B\,l\,v\), а ЭДС равна \(Blv\).
Ответ: \(\mathcal{E}=0{,}30\ \text{В}\), \(I=0{,}15\ \text{А}\). Формула \(\mathcal{E}=Blv\) применима, если стержень движется перпендикулярно своей длине и линиям магнитного поля. При другом направлении нужно учитывать соответствующую составляющую скорости.
4. Правило Ленца и направление тока
Правило Ленца определяет не знак числа, а физическое направление индукционного тока. Индукционный ток всегда создаёт собственное магнитное поле, которое противодействует изменению внешнего магнитного потока. Он не обязательно направлен против внешнего поля: если внешний поток уменьшается, собственное поле поддерживает его и направлено так же, как внешнее.
Если внешний магнитный поток через контур увеличивается, индукционное поле направлено против внешнего поля. Если внешний поток уменьшается, индукционное поле направлено в ту же сторону, чтобы ослабить изменение потока.
- Определите направление внешнего магнитного поля через контур.
- Решите, увеличивается поток или уменьшается: меняются \(B\), площадь \(S\) или угол \(\alpha\).
- Выберите направление индукционного поля: против увеличения или в поддержку уменьшения.
- По правилу правой руки установите направление тока: если пальцы направлены по току, большой палец показывает направление поля внутри контура.
Для катушки удобно смотреть на её торец. Если ток против часовой стрелки при взгляде на торец, этот торец является северным полюсом; если по часовой стрелке — южным. При этом направление обхода зависит от того, с какой стороны на катушку смотрят.
5. Типовые изменения потока
| Что изменяется | Как записать поток | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Магнитная индукция | \(\Phi=BS\cos\alpha\) | Сравниваются \(B_1\) и \(B_2\). |
| Площадь контура | \(\Phi=BS\cos\alpha\) | Площадь рамки должна быть в м². |
| Поворот контура | \(\Phi=BS\cos\alpha\) | Угол отсчитывается от нормали, а не от плоскости. |
| Число витков | \(\mathcal{E}=N|\Delta\Phi|/\Delta t\) | Один и тот же поток пронизывает каждый виток. |
| Равномерное движение стержня | \(\mathcal{E}=Blv\) | Скорость берётся перпендикулярно стержню и полю. |
1) Подставляют угол между полем и плоскостью вместо угла с нормалью. Тогда нужно заменить его на \(90^\circ-\beta\). 2) Забывают модуль при вычислении величины ЭДС. 3) Используют сантиметры и квадратные сантиметры без перевода в СИ. 4) Считают, что правило Ленца всегда направляет ток против внешнего поля; на самом деле оно противодействует изменению потока. 5) Не умножают ЭДС на число витков \(N\). 6) Для вращающегося контура берут конечный угол, но забывают вычислить оба потока.
Если дан график магнитного потока от времени, средняя ЭДС на участке равна модулю углового коэффициента графика: \(\mathcal{E}=N|\Delta\Phi/\Delta t|\). Горизонтальный участок означает нулевую ЭДС, а более крутой участок — большую ЭДС.
6. Как оформить ответ на экзамене
Сначала запишите физический закон, затем подставьте величины с единицами и только после этого округляйте результат. В задачах на направление полезно явно написать: «внешний поток увеличивается» или «внешний поток уменьшается», после чего указать направление индукционного поля и тока. Если требуется график, на оси времени отмечают моменты изменения, а на участках постоянного потока ЭДС равна нулю.
Быстрая проверка
Главное
- Магнитный поток вычисляют по формуле \(\Phi=BS\cos\alpha\), где угол берут между полем и нормалью к поверхности.
- Средняя ЭДС индукции равна \(N|\Delta\Phi|/\Delta t\); ток находят по закону Ома.
- Правило Ленца противодействует изменению магнитного потока: при росте потока поле катушки направлено против внешнего, при уменьшении — в ту же сторону.
- В любой задаче сначала определите, что изменяется: \(B\), \(S\), угол или число витков, затем найдите начальный и конечный потоки.
- Особенно внимательно проверяйте единицы СИ, угол с нормалью и множитель \(N\).