Задачи на цикл Карно
Цикл Карно — идеальная модель работы тепловой машины, состоящая из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Для задач на этот цикл КПД находят по абсолютным температурам нагревателя и холодильника, поэтому главное — правильно перевести температуры в кельвины и выбрать нужную формулу.
Идеальная тепловая машина и цикл Карно
Тепловая машина получает от нагревателя количество теплоты \(Q_1\), часть этой энергии превращает в механическую работу \(A\), а оставшуюся часть \(Q_2\) передаёт холодильнику. Индекс 1 относится к нагревателю, индекс 2 — к холодильнику. В идеальной машине потери на трение, теплопроводность и другие необратимые процессы не учитываются.
Цикл Карно — обратимый круговой процесс, состоящий из расширения и сжатия идеального газа при постоянных температурах, а также двух адиабатных процессов без теплообмена с окружающей средой. Нагреватель имеет температуру \(T_1\), холодильник — температуру \(T_2\), причём \(T_1>T_2\).
В цикле Карно газ получает теплоту \(Q_1\) на изотермическом расширении при температуре \(T_1\) и отдаёт теплоту \(Q_2\) на изотермическом сжатии при температуре \(T_2\). На адиабатных участках теплообмена нет: газ либо расширяется и охлаждается, либо сжимается и нагревается.
КПД цикла Карно
КПД цикла Карно показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в работу. По определению КПД любой тепловой машины равен отношению полезной работы к подведённой теплоте.
За полный цикл внутренняя энергия рабочего тела возвращается к исходному значению, поэтому по первому началу термодинамики работа равна разности полученной и отданной теплот: \(A=Q_1-Q_2\). Тогда для любой тепловой машины:
КПД обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно между температурами \(T_1\) и \(T_2\), зависит только от этих температур и не зависит от природы рабочего тела.
В формуле (1) температуры обязательно выражаются в кельвинах. В шкале Цельсия отношение температур использовать нельзя: нулевая точка этой шкалы не соответствует абсолютному нулю.
Алгоритм решения задач
- Определите, какая температура относится к нагревателю, а какая — к холодильнику. Нагреватель всегда горячее: \(T_1>T_2\).
- Переведите температуры из градусов Цельсия в кельвины: \(T=t+273\) или точнее \(T=t+273{,}15\).
- Подставьте температуры в формулу Карно: \(\eta=1-\frac{T_2}{T_1}\).
- Если ответ нужен в процентах, умножьте полученное значение на \(100\%\).
- Проверьте результат: для тепловой машины должно быть \(0<\eta<1\), или \(0\%<\eta<100\%\).
Если температуры заданы как \(t_1\) и \(t_2\) в градусах Цельсия, сразу записывайте \(\eta=1-\frac{t_2+273}{t_1+273}\). Разность температур в числителе может быть выражена в градусах Цельсия, но сами температуры в отношении должны быть абсолютными.
Нагреватель имеет температуру \(127\ ^\circ\mathrm{C}\), холодильник — \(27\ ^\circ\mathrm{C}\). Каков КПД цикла Карно?
Разобранный пример
Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя равна \(227\ ^\circ\mathrm{C}\), а температура холодильника — \(27\ ^\circ\mathrm{C}\). Найдите КПД машины. Дополнительно определите работу за цикл, если от нагревателя получено \(Q_1=2{,}0\ \mathrm{kJ}\).
Показать решение Экзаменационный уровень
КПД машины равен \(40\%\), работа за цикл — \(800\ \mathrm{Дж}\). Обратите внимание: для расчёта КПД понадобились только температуры, а для работы дополнительно понадобилось значение \(Q_1\).
Связь с теплотами и работой
Для цикла Карно справедливо не только температурное выражение КПД, но и соотношение подведённой и отведённой теплот. Оно следует из обратимости цикла:
Поэтому можно решать задачи, в которых даны \(Q_1\) и \(Q_2\), температуры или работа. Например, если известны \(Q_1\) и КПД, то \(A=\eta Q_1\), а \(Q_2=Q_1-A=Q_1(1-\eta)\). Если известна работа и теплота от холодильника, то \(Q_1=A+Q_2\).
Для цикла Карно: \(\eta=1-\frac{T_2}{T_1}\); \(T_1\) — температура нагревателя, \(T_2\) — температура холодильника; обе температуры — в кельвинах; КПД всегда меньше 1.
1. Подстановка градусов Цельсия непосредственно в формулу. 2. Перестановка температур: если взять \(1-T_1/T_2\), получится отрицательный результат. 3. Ответ в долях принимают за проценты: \(0{,}35\) — это \(35\%\). 4. Путают КПД с количеством теплоты: КПД безразмерен, а \(Q\) измеряется в джоулях. 5. Забывают, что идеальная машина не может иметь КПД \(100\%\): для этого потребовалась бы температура холодильника \(0\ \mathrm{K}\).
Пределы применимости и физический смысл
Из формулы Карно видно: чем выше температура нагревателя при неизменном холодильнике, тем больше КПД; чем выше температура холодильника при неизменном нагревателе, тем меньше КПД. Но увеличение КПД не означает, что всю теплоту можно превратить в работу: часть энергии обязательно передаётся холодильнику.
Формула Карно задаёт максимально возможный КПД для заданных температур. Реальные машины имеют меньший КПД, потому что в них присутствуют трение, теплопотери и необратимые процессы. Для сравнения с реальной установкой полезно повторить материал страницы «Коэффициент полезного действия тепловой машины», а сам цикл рассмотреть подробнее на странице «Цикл Карно».
Проверь себя
Главное
- Цикл Карно — идеальный обратимый цикл с двумя изотермами и двумя адиабатами.
- КПД цикла Карно определяется формулой \(\eta=1-\frac{T_2}{T_1}\), где температуры выражены в кельвинах.
- Нагреватель должен быть горячее холодильника: \(T_1>T_2\).
- Для работы используйте связи \(A=\eta Q_1\) и \(A=Q_1-Q_2\).
- КПД Карно — максимально возможный КПД машины, работающей между заданными температурами; реальный КПД ниже.