Замкнутая ломаная

Замкнутая ломаная — это цепочка отрезков, соединённых концами так, что начало и конец совпадают. Формально набор вершин можно обозначить как \(V_1, V_2, \dots, V_n\), при этом ломаная состоит из отрезков \(V_1V_2,\; V_2V_3,\; \dots,\; V_nV_1\). При этом обычно предполагают, что число вершин удовлетворяет условию \(n\ge 3\), чтобы ломаная имела не менее трёх звеньев и могла задавать область в плоскости. Замкнутость означает, что последний отрезок возвращается к первой вершине; в записи это отражается равенством индексации вершин в цикле.

В геометрии замкнутые ломаные служат моделью границ многоугольников и приближений кривых. Для замкнутой ломаной естественно вводить понятие периметра — сумму длин всех звеньев, что записывается как \(P = \sum_{i=1}^{n} |V_iV_{i+1}|,\quad V_{n+1}=V_1\). Если замкнутая ломаная не пересекает сама себя (простая замкнутая ломаная), то она разделяет плоскость на внутреннюю и внешнюю области, и по вершинам такой ломаной можно вычислить площадь многоугольника с помощью формул координат; для вершин с координатами это реализуется формулой типа \(S = \dfrac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|,\; (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1)\) (часто называемой формулой Гаусса или формулой площади по координатам вершин).