Вневписанные окружности треугольника

Введение и мотивация

В планиметрии, помимо вписанной окружности, у каждого треугольника существуют три вневписанные (внешне вписанные) окружности. Они касаются одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Рассмотрим основные определения, свойства и формулы, связанные с этими окружностями. Для удобства стороны треугольника будем обозначать как \(a\), \(b\), \(c\).

Понятия, используемые далее, тесно связаны с полупериметром и площадью треугольника. Полупериметр обозначают \(s = \frac{a+b+c}{2}\), а площадь треугольника через полупериметр вычисляется по формуле Герона \(\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Эти выражения будут встречаться неоднократно при выводе формул для радиусов вневписанных окружностей.

Определение и основные свойства

Для каждой вершины треугольника существует уникальная вневписанная окружность: та, которая лежит напротив соответствующей вершины и обозначается как «вневписанная к стороне, противоположной вершине». Радиусы этих окружностей обычно обозначают \(r_a = \frac{\Delta}{s-a}\), \(r_b = \frac{\Delta}{s-b}\), \(r_c = \frac{\Delta}{s-c}\) соответственно (радиусы, противоположные сторонам \(a\), \(b\), \(c\)).

Формулы радиусов вневписанных окружностей и связь с площадью

Радиус вневписанной окружности, противоположной стороне \(a\), выражается через площадь треугольника и полупериметр как \(r_a = \frac{\Delta}{s-a}\). Аналогичные формулы справедливы для остальных двух вневписанных окружностей: \(r_b = \frac{\Delta}{s-b}\) и \(r_c = \frac{\Delta}{s-c}\).

Вписанный радиус (инрадиус) обозначают \(r = \frac{\Delta}{s}\) и он связан с площадью треугольника соотношением \(\Delta = s r\). Поскольку площадь также выражается через радиусы вневписанных окружностей (через соответствующие делители полупериметра), получается полезная связь между инрадиусом и вневписанными радиусами: например для радиуса, противоположного стороне \(a\), выполняется соотношение \(r_a = \frac{s}{s-a}\, r\).

Часто удобна формула длины касательной от вершины к точке касания вписанной окружности: длина этой касательной для вершины, противоположной стороне \(a\), равна \(t_A = s - a\). Эти длины помогают находить координаты точек касания и деления сторон при решении задач.

Построение вневписанных окружностей и точки касания

Построение вневписанной окружности сводится к построению пересечения соответствующих биссектрис: центр вневписанной окружности напротив стороны \(a\) находится на пересечении внешних биссектрис углов при вершинах, прилежащих к стороне \(a\). Практически это делается так: строят внешние биссектрисы двух углов и берут их пересечение — это и есть искомый эксцентр.

После нахождения центра проводят перпендикуляр к соответствующей стороне: точкой касания будет пересечение перпендикуляра с этой прямой (с прямой, содержащей сторону треугольника). На схеме такую точку удобно отметить; см. схематический рисунок для наглядности.

Связь с инцентром, гомотетии и точкой Нагеля

Инцентр (центр вписанной окружности) и эксцентры связаны геометрическими гомотетиями. Центр гомотетии, переводящий вписанную окружность в одну из вневписанных, лежит на прямой, соединяющей центр вписанной окружности и соответствующий эксцентр. Эти соотношения позволяют выводить соотношения радиусов и расстояний между центрами, используя свойства подобия.

Существует также связь с точкой Нагеля (центром разрезания сечений, отвечающих за суммы касательных длин). Точки касания вневписанных и вписанной окружностей и длины касательных сегментов связаны через полупериметр, что удовлетворяет приведённым выше формулам для касательных длин и радиусов.

Примеры и практические вычисления

Рассмотрим численный пример: пусть стороны треугольника равны \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Полупериметр этого треугольника равен \(s = \frac{13+14+15}{2} = 21\), а по формуле Герона площадь вычисляется как \(\Delta = \sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} = 84\).

Этот пример иллюстрирует удобство использования формул через площадь и полупериметр: сперва вычисляется полупериметр, затем площадь по Герону, затем делением площади на соответствующую разницу полупериметра и стороны получают нужный радиус.

Замечания и советы при решении задач

При работе с вневписанными окружностями важно аккуратно различать внутренние и внешние биссектрисы: центры вневписанных окружностей находятся на пересечениях внешних биссектрис, и ошибки в построении биссектрис приводят к неверному положению центров. Всегда проверяйте направление биссектрисы при построении.

В задачах удобно пользоваться двумя путями: аналитическим (координатным) или чисто геометрическим (через свойства касательных и биссектрис). Для численных вычислений формулы вида \(r_a = \frac{\Delta}{s-a}\) и \(r = \frac{\Delta}{s}\) дают быстрые результаты при известной площади или сторонах.

Схематические изображения процесса построения и точек касания можно поместить в дополнительные рисунки:.