Упорядоченная пара

Упорядоченная пара — это простая математическая структура, состоящая ровно из двух элементов с указанным порядком: первый и второй. Обычно упорядоченную пару записывают как \((a,b)\). Важная черта таких объектов в том, что порядок элементов имеет значение: смена мест первого и второго элементов даёт, вообще говоря, другой объект. Точнее, два упорядоченных множества равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие им первые и вторые компоненты; это формулируется символически как \((a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a=c \land b=d\). Такая формулировка позволяет однозначно работать с парами при изучении функций, отношений и декартовых произведений.

Упорядоченные пары служат строительными блоками для более сложных конструкций. Например, декартово произведение двух множеств задаётся как множество всех упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит первому множеству, а второй — второму: \(A \times B = \{(a,b) \mid a\in A,\ b\in B\}\). В теории функций любая функция из множества A в множество B представляется как подмножество декартова произведения A×B, состоящее из пар «вход — образ». Часто используют проекции — функции, которые извлекают из пары соответствующую компоненту: \(\pi_1((a,b)) = a,\ \pi_2((a,b)) = b\). На плоскости каждая точка задаётся упорядоченной парой координат (см. иллюстрацию) — это наглядный пример использования упорядоченных пар в геометрии и прикладных задачах.

С математической точки зрения полезно иметь определение упорядоченной пары через теорию множеств, чтобы свести понятие пары к уже принятым примитивам. Одно из стандартных способов дать такое определение — определение Куратовского, которое задаёт пару как определённое множество подмножеств её компонентов: \((a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}\). Это определение обеспечивает то свойство, что пары с одинаковыми компонентами совпадают как множества, а пары с различными компонентами различны, что отражает вышеупомянутое условие равенства.