Точка пересечения
В математике точка пересечения — это точка, принадлежащая одновременно двум или более геометрическим объектам (прямым, кривым, поверхностям и т. п.). В планиметрии и аналитической геометрии чаще всего рассматривают пересечение двух прямых, двух отрезков, прямой и окружности или двух кривых. Формально поиск точки пересечения приводит к решению системы уравнений, задающих эти объекты, например для двух прямых в координатной плоскости: \(\begin{cases} y = k_1 x + b_1 \\ y = k_2 x + b_2 \end{cases}\).
Понятие точки пересечения важно как в теории, так и на практике: при построении чертежей, в задачах на доказательство, при анализе графиков функций и в прикладных задачах (оптимизация, моделирование). В аналитическом виде задача сводится к решению системы уравнений; для двух различных наклонных прямых координаты точки пересечения можно выразить явными формулами через коэффициенты прямых: \(x = \dfrac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}\) и \(y = \dfrac{k_1 b_2 - k_2 b_1}{k_1 - k_2}\). Если решение существует и единственно, говорят об одной точке пересечения; если решений нет — пересечений нет, если решений бесконечно много — объекты совпадают по части или полностью.
Пример 1. Пересечение двух прямых. Пусть даны прямые, описываемые зависимостями y = k1 x + b1 и y = k2 x + b2. Их совместная запись выглядит как \(\begin{cases} y = k_1 x + b_1 \\ y = k_2 x + b_2 \end{cases}\). При k1 \u2260 k2 они пересекаются в точке с координатами x = \(x = \dfrac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}\), y = \(y = \dfrac{k_1 b_2 - k_2 b_1}{k_1 - k_2}\). На рисунке это может выглядеть так:.
Пример 2. Пересечение прямой и окружности. Задача сводится к решению системы вида \(\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\ y = m x + c \end{cases}\). Подстановка у = m x + c даёт квадратное уравнение для x: \(x^2 + (m x + c)^2 = r^2\). Его дискриминант определяет количество точек пересечения: два решения — две точки, одно (кратный корень) — касание, нет решений — пересечений нет. Иллюстрация с примером решения показана на рисунке:.