Шаг
В математике и смежных областях термин «шаг» обычно означает фиксированный приращение, расстояние или интервал между соседними точками дискретной структуры. Шаг задаёт гранулярность разбиения числовой оси, отрезка, сетки или последовательности: он показывает, на сколько изменяется переменная при переходе от одного узла к следующему. В разных контекстах шаг может называться шагом сетки, шагом дискретизации, шагом итерации или просто приращением; важна его роль в описании дискретной версии непрерывного процесса и в управлении точностью аппроксимаций.
На практике шаг используется для задания разницы между соседними элементами в арифметической прогрессии, ширины интервала в численных методах и шага цикла в алгоритмах. Например, в арифметической прогрессии отношение между соседними членами формулируют через шаг (разность): \(a_{n+1}=a_n+d\). При разбиении отрезка [a, b] на N равных частей шаг сетки h равен \(h=\dfrac{b-a}{N}\), что определяет расположение узлов сетки. В численном дифференцировании приближённая формула для производной использует конечную разность с шагом h: \(f''(x)\approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Выбор шага влияет на точность и вычислительную нагрузку: малый шаг обычно даёт большую точность, но увеличивает затраты по времени и памяти.
Пример 1 (арифметическая прогрессия). Пусть первый член равен 5, а шаг (разность) d = 3. Тогда последовательность строится по правилу \(a_{n+1}=a_n+d\) и даёт 5, 8, 11, 14, …
Пример 2 (разбиение отрезка). Отрезок [0, 1] разделили на 4 равные части: тогда шаг сетки h вычисляется как \(h=\dfrac{b-a}{N}\). Узлы будут расположены в точках 0,,, 1 (в примере изображены промежуточные точки).
Пример 3 (численное дифференцирование). Для гладкой функции f приближённое значение производной в точке x можно получить как разностная схема: \(f''(x)\approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\). При уменьшении h приближение улучшается, но погрешность из-за машинного представления чисел и потери старших разрядов может возрастать.