Простая ломаная

Простая ломаная — это геометрическая фигура, образованная последовательностью звеньев (отрезков), соединяющих ряд точек так, что звенья соседних пар точек имеют общие концы, а непоследовательные звенья не пересекаются. Формально ломаная задаётся как последовательность вершин и объединение отрезков между соседними вершинами: \(\overline{P_0P_1\ldots P_n}=\bigcup_{i=1}^{n}[P_{i-1}P_i]\). Условие простоты означает, что внутренние точки разных несоседних звеньев не совпадают, то есть отсутствуют самопересечения: \(\forall i,j\ (|i-j|>1)\Rightarrow [P_{i-1}P_i]\cap [P_{j-1}P_j]=\varnothing\). Простая ломаная может быть незамкнутой (открытой) или замкнутой — в последнем случае её конец совпадает с началом, и она служит границей многоугольника.

Простые ломаные встречаются в школьной геометрии и в практических задачах: они описывают границы фигур при приближении кривых кусочно-линейными путями, используются для построения полигона и сеток в компьютерной графике, маршрутов на картах и в цифровой обработке геометрии. Важное числовое свойство — длина ломаной, равная сумме длин её звеньев: \(L=\sum_{i=1}^{n}|P_iP_{i-1}|\). Для проверки простоты часто применяются методы аналитической геометрии и алгоритмы вычисления пересечений отрезков, что особенно актуально в задачах программирования геометрических приложений. Простая замкнутая ломаная отделяет внутреннюю область от внешней и в натуральном виде является примером кусочно-линейной замкнутой кривой.