Плотность множества рациональных чисел
Под плотностью множества обычно понимают свойство занимать всю «пробелу» в линии так, что между любыми двумя точками всегда найдётся точка из этого множества. В контексте рациональных чисел это формулируется так: множество \(\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) называется плотным в множестве действительных чисел, если выполняется условие \(\forall\;a<b\;\exists\;r\in\mathbb{Q}\;\text{такое, что}\;a<r<b\). Проще: в любом открытом отрезке на числовой прямой найдётся рациональное число. Отсюда следует важное топологическое следствие: замыкание множества рациональных чисел равно всем действительным числам, что записывают как \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\), а внутренность множества рациональных чисел пуста, то есть \(\operatorname{int}(\mathbb{Q})=\varnothing\).
Практическое значение плотности рациональных чисел велико: она позволяет приближать любые действительные числа рациональными с произвольной точностью, что лежит в основе методов численного приближения, вычислений и теории приближений. Каждый рационал можно записать в виде \(r=\dfrac{p}{q},\quad p\in\mathbb{Z},\;q\in\mathbb{N}\), и это обеспечивает простые конструктивные приёмы для приближения. Несмотря на свою повсеместность на прямой, множество рациональных чисел остаётся счётным и «тонким» в смысле меры: обладая плотностью, оно одновременно имеет нулевую меру относительно обычной длины отрезка.
Ниже приведён классический доказательный пример плотности: возьмём два любых действительных числа и предположим, что \(a<b\). Существует целое положительное число n такое, что \(n>\dfrac{1}{b-a}\). Тогда найдётся целое k, удовлетворяющее неравенству \(\exists\;k\in\mathbb{Z}\;\;\text{такое, что}\;a<\dfrac{k}{n}<b\), что и дает рациональное число k/n, лежащее строго между a и b. Конструктивно можно взять k равным \(k=\lfloor a n\rfloor+1\), тогда при выбранном n получится желаемое вхождение k/n в интервал (a,b). Этот простой аргумент показывает, что рациональные числа стоят «плотно» на прямой, хотя их множество и не заполняет отрезки в смысле длины.
Важно помнить: плотность не тождественна полноте. Множество рациональных чисел плотное в действительных числах, но само по себе не является полным; существуют фундаментальные последовательности рациональных чисел, сходящиеся к иррациональным пределам, которых нет в самом множестве рационалов. Плотность же делает рационалы удобным инструментом для аппроксимаций и теоретических рассуждений в школьной и вузовской математике.