Корень
Термин «корень» в школьной математике имеет два близких по смыслу, но различающихся применения значения. Во-первых, корнем уравнения называют значение переменной, при котором выражение превращается в тождественный нуль: другими словами, это такое значение x, при котором выполняется равенство \(f(x)=0\). Во-вторых, под корнем числа обычно понимают значение, которое при возведении в некоторую степень даёт заданное число; например, под «n‑м корнем из a» понимают число b, для которого справедливо равенство \(\sqrt[n]{a}=b\). При этом важно различать понятие «корень уравнения» и «корень числа»: первое относится к поиску решений уравнений, второе — к операции извлечения корня из числа.
Понятие корня широко применяется при изучении полиномов, алгебраических уравнений и в геометрических задачах. Для многочленов корнем называется число, при подстановке которого многочлен обращается в ноль; знание всех корней позволяет разложить многочлен на множители и использовать связи, вытекающие из теоремы Виета. Иногда корню сопоставляют кратность: если при подстановке значение обращает функцию в ноль и при этом она имеет касание графика к оси, говорят о кратном корне. Для решений практических задач применяются точные алгебраические методы (факторизация, квадратная формула для квадратных уравнений) и численные алгоритмы (например, метод Ньютона) — в школьном курсе важно уметь распознавать ситуации, когда корни реальны, комплексны или отсутствуют в множестве действительных чисел.
Пример. Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2-5x+6=0\). Его корнями являются такие значения x, при которых многочлен обращается в ноль; в данном случае это простые целые корни \(x=2\) и \(x=3\). В другом примере, для числового корня, запись \(\sqrt[n]{a}=b\) означает, что число b при возведении в степень n даёт a: это удобное обозначение при решении задач на извлечение корня и проверку допустимости значений (например, для чётного n подкоренное выражение должно быть неотрицательным, если работаем в множестве действительных чисел). Понимание того, что такое корень, и умение оперировать этим понятием — ключ к успешному решению широкого круга задач по алгебре и геометрии.