Конечная точка
В школьной геометрии и анализе под термином «конечная точка» обычно понимают точку, которая является концом отрезка, луча или границей множества на числовой прямой. Конечная точка отделяет объект от окружающего пространства: для отрезка это одна из двух точек, которые отмечают его границы, для луча — точка от которой луч начинается, а для интервала на числовой прямой — одна из крайних точек, входящая или не входящая в сам интервал в зависимости от его типа. Формально множество всех точек между двумя конечными точками задают с помощью соответствующей записи интервала или отрезка \([a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}\), а открытый промежуток, у которого конечные точки не включены, обозначается как \((a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\}\).
Понятие конечной точки важно при измерении длины, при построении фигур и при изучении свойств функций. Например, при исследовании непрерывности функции на отрезке внимание уделяют значениям в конечных точках: функция может быть непрерывной на интервале, но иметь особенности в концах, если они не принадлежат области определения. В задачах на построение и доказательство часто используют обозначение отрезка с концами A и B как \(\overline{AB}\), а в координатной форме отрезок между точками с координатами a и b описывается через неравенства \(\{x\in\mathbb{R}\mid \min(a,b)\le x\le \max(a,b)\}\). Понимание того, включена ли конечная точка в множество или нет, определяет, считается ли множество замкнутым или открытым в элементарных примерах.
Пример 1. Отрезок с конечными точками A и B записывают как \(\overline{AB}\). Если A имеет координату один, а B — пять, то множество всех точек от A до B задаётся как \(\{x\in\mathbb{R}\mid \min(a,b)\le x\le \max(a,b)\}\).
Пример 2. Луч, начинающийся в точке a и распространяющийся вправо, обозначается через полубесконечный интервал \([a,\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge a\}\). В этом случае точка a является конечной для луча (начальной), а бесконечность не является конечной точкой.