Длина ломаной

Ломаная — это последовательность отрезков, соединённых концами: каждому отрезку совпадает конец с началом следующего. Вершины ломаной обычно обозначают как \(P_0,P_1,\dots,P_n\), а звенья — как отрезки \(P_{i-1}P_i\). Понятие длины ломаной вводится как сумма длин всех её звеньев: \(L=\sum_{i=1}^n |P_iP_{i-1}|\). Это определение естественно и интуитивно: если пройти по ломаной от первой вершины до последней, пройденное расстояние равно сумме длин промежуточных отрезков.

Для вычисления длины каждого звена в координатной плоскости удобно пользоваться формулой расстояния между двумя точками: \(|P_iP_{i-1}|=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\). Зная координаты вершин, можно последовательно находить длины звеньев и складывать их. Длина ломаной играет роль в задачах на измерение пути, в вычислении периметров многоугольников (периметр — это длина замкнутой ломаной) и в приближениях длины гладкой кривой полигональными линиями при численных методах. В прикладных задачах (геодезия, графы, маршрутизация) ломаная моделирует маршрут, а её длина — затраты на прохождение.

Некоторые свойства: длина ломаной неотрицательна, при разбиении любого звена на части сумма длин частей равна длине исходного звена, и длина замкнутой ломаной даёт периметр соответствующего многоугольника. При приближении кривой ломаной длины приближений сходятся к длине кривой при подходящей процедуре усечения шагов.