Директриса
Директриса — в геометрии прямая, задающая вместе с фокусом или фокусами семейство конических сечений посредством соотношения расстояний. Формально для заданной точки F (фокуса) и прямой l (директрисы) множество точек P, для которых отношение расстояния до фокуса и расстояния до директрисы равно постоянному положительному числу e, называется коникой с эксцентриситетом e; это задаётся соотношением \(\dfrac{|PF|}{\mathrm{dist}(P,l)}=e\). При e=1 такая коника называется параболой, при 0<e<1 — эллипсом, при e>1 — гиперболой. Само слово «директриса» происходит от латинского и означает «направляющая», что отражает её роль в описании формы коники.
В аналитической геометрии директриса часто задаётся уравнением прямой вида \(\mathrm{dist}(P,l)=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Для стандартных положений коник можно явно записать уравнение дирекрис. Например, в стандартном расположении эллипса с полуосями a и b и фокусным расстоянием c (где e=c/a) директрисы имеют уравнения \(x=\pm\dfrac{a}{e}\). Знание директрисы важно при доказательстве свойств коник и при построениях: через неё выражается геометрическое определение коники и проверяется равенство отношения расстояний. Кроме того, для параболы директриса и фокус задают её важное оптическое свойство — отражённые лучи от параболической поверхности, исходящие из фокуса, выходят параллельно оси симметрии, и наоборот.
Простой пример. Возьмём параболу с фокусом в точке F(p,0) и директрисой x = -p (p>0). Для точки P(x,y) условие параболы задаётся равенством расстояний до фокуса и до директрисы: \(\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|\). Возведя в квадрат, получаем: \((x-p)^2+y^2=(x+p)^2\), что после упрощения даёт стандартное уравнение параболы \(y^2=4px\). Этот вывод иллюстрирует, как через понятие директрисы и фокуса получается алгебраическое уравнение коники и как геометрические параметры (здесь p) связаны с коэффициентами в уравнении.
Практическое применение понятия директрисы выходит за рамки чистой геометрии: оно встречается в оптике, при моделировании антенн и зеркал, в теории орбит в небесной механике (орбиты тел описываются коническими сечениями с соответствующими фокусами и директрисами) и в компьютерной графике при аппроксимации кривых. Понимание роли директрисы помогает связывать геометрическую интуицию и аналитические формулы коник.