Задания № 24, 26 · ЕГЭ

Транспонирование матрицы

Как получить транспонированную матрицу обменом строк и столбцов

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Транспонирование матрицы — это построение новой матрицы, в которой строки исходной матрицы становятся столбцами, а столбцы — строками. При этом элемент с индексами строки \(i\) и столбца \(j\) переходит на место с индексами \(j\) и \(i\).

Транспонирование матрицы \(A\) — операция построения матрицы \(B\), называемой транспонированной и обозначаемой \(A^T\), по правилу: каждый элемент \(a_{ij}\) исходной матрицы становится элементом \(b_{ji}\) новой матрицы. Если исходная матрица имеет размер \(m \times n\), то транспонированная имеет размер \(n \times m\).

Главная задача при программировании — правильно поменять местами индексы. В исходной матрице запись \(A[i][j]\) означает элемент в строке \(i\) и столбце \(j\). В результате транспонирования этот элемент записывают как \(B[j][i]\). Нумерация индексов обычно начинается с нуля, поэтому в циклах перебирают строки от \(0\) до \(m-1\), а столбцы — от \(0\) до \(n-1\).

\[B_{j,i}=A_{i,j},\qquad 0\le i<m,\quad 0\le j<n\]

№

Пример

Пусть \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\). В ней 2 строки и 3 столбца, поэтому после транспонирования получится матрица 3 \(\times\) 2: \(A^T=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}\). Например, \(A[0][2]=3\) переходит в \(B[2][0]=3\).

Python

m = 2
n = 3
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
B = [[0] * m for _ in range(n)]

for i in range(m):
    for j in range(n):
        B[j][i] = A[i][j]

Не перепутайте индексы

Транспонирование не означает разворот каждой строки или столбца. Порядок элементов сохраняется: элемент \(A[i][j]\) всегда переходит именно в \(B[j][i]\). Также нельзя оставить размер новой матрицы \(m \times n\): для неё нужны \(n\) строк и \(m\) столбцов. Операция отличается от циклического сдвига массива, при котором элементы перемещаются внутри одной последовательности.

Проверьте себя

Куда перейдёт элемент \(A[2][1]\) при транспонировании?

При квадратной матрице транспонированную матрицу можно записывать в тот же массив, меняя местами элементы по разные стороны главной диагонали. Для прямоугольной матрицы безопаснее создать отдельный массив, потому что его размеры отличаются от размеров исходного.

Главное за минуту

Главное

При транспонировании строки становятся столбцами, а столбцы — строками.
Правило индексов: \(B[j][i]=A[i][j]\).
Матрица размера \(m \times n\) превращается в матрицу размера \(n \times m\).