Тапсырма № 1 · ЕГЭ

Равновесные системы счисления

Санау жүйелері с положительными и отрицательными цифрами

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Равновесная система счисления — это позиционная система, в которой цифры могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. Благодаря этому одно и то же число иногда записывается короче, а переносы между разрядами выполняются удобнее.

Равновесная система счисленияСлово «равновесная» указывает на равное количество положительных и отрицательных значений вокруг нуля.

Позиционная система счисления, в которой набор цифр симметричен относительно нуля: вместе с положительными цифрами используются соответствующие отрицательные. Для основания \(b=2m+1\) обычно применяют цифры \(-m,-m+1,\ldots,-1,0,1,\ldots,m\). Значение жазбалар определяется суммой произведений цифр на степени основания.

\[N=\sum_{i=0}^{k} a_i b^i,\qquad a_i\in\{-m,\ldots,0,\ldots,m\},\quad b=2m+1\]

В обычной позиционной системе цифры неотрицательны: например, в десятичной используются значения от 0 до 9. В равновесной системе часть цифр имеет знак «минус». Чтобы различать положительные и отрицательные цифры, применяют условные обозначения: например, в троичной системе цифру \(-1\) часто записывают как \(\overline{1}\).

№

Пример: сбалансированная троичная система

В сбалансированной троичной системе используются цифры \(-1\), \(0\) и \(1\). Запись \(1\overline{1}0_3\) означает \(1\cdot3^2+(-1)\cdot3^1+0\cdot3^0=9-3=6\). Такая система называется симметричной троичной системой.

Не путайте с обычной позиционной системой

Равновесная система не означает, что основание может быть отрицательным или дробным. Основание остаётся обычным положительным числом, а отрицательными бывают значения отдельных цифр. Также это не то же самое, что позиционная система счисления вообще: равновесные системы являются её специальным видом.

Проверьте понимание

Какие цифры используются в сбалансированной троичной системе?

Главное за минуту

Главное

В равновесной системе цифры могут быть положительными, нулевыми и отрицательными.
Для основания \(2m+1\) типичный набор цифр: от \(-m\) до \(m\).
Значение записи вычисляют по обычному позиционному правилу: цифра умножается на соответствующую степень основания.