Область определения булевой функции
Область определения булевой функции — это множество всех наборов значений её аргументов, при которых функция имеет смысл. Для булевой функции каждый аргумент принимает значение 0 или 1, поэтому область определения состоит из наборов нулей и единиц.
Набор значений аргументов записывают в определённом порядке: например, \((x_1,x_2,x_3)=(1,0,1)\). Для функции от \(n\) аргументов всего может быть \(2^n\) различных наборов. Именно эти наборы обычно являются строками таблицы истинности; понятие истинностного набора помогает рассматривать каждый такой набор отдельно.
Здесь \(D_f\) — область определения функции \(f\), а \(n\) — число её аргументов. В школьных задачах булевы функции чаще всего считают полными: они определены на всех \(2^n\) наборах, то есть \(D_f=\{0,1\}^n\). Если некоторые наборы запрещены условием задачи, функция задана только на подмножестве.
Функция \(f(x,y)=x\land y\) определена при всех наборах двух аргументов: \((0,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\) и \((1,1)\). Поэтому её область определения содержит \(2^2=4\) набора. Если по условию разрешены только наборы, где \(x\ne y\), область определения будет равна \(\{(0,1),(1,0)\}\).
Область определения содержит все допустимые входные наборы, независимо от результата функции. Истинностный набор — это набор, на котором значение функции равно 1. Поэтому истинностные наборы могут составлять только часть области определения.
Не следует также смешивать область определения с аргументом булевой функции: аргументом называют отдельную переменную, а область определения — множество совместных наборов значений всех аргументов.
Сколько наборов содержит область определения полной булевой функции от трёх аргументов?
Главное
- Область определения — множество всех допустимых наборов нулей и единиц.
- Для полной функции от \(n\) аргументов область определения равна \(\{0,1\}^n\) и содержит \(2^n\) наборов.
- Истинностные наборы — только те допустимые наборы, на которых функция равна 1.