Задания № 10, 12 · ЕГЭ

Кумулятивная сумма

Что такое кумулятивная сумма и как её использовать

2 мин чтенияСложность: Обновлено 29 сентября 2026

Кумулятивная сумма — это сумма элементов последовательности, накопленная от её начала до каждой текущей позиции. Она позволяет быстро узнавать сумму любого начального участка массива и служит основой для префиксного максимума и префиксного минимума.

Кумулятивная сумма

Для последовательности \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) кумулятивная сумма \(S_i\) — это сумма первых \(i\) элементов: \(S_i=a_1+a_2+\cdots+a_i\). Также её называют префиксной суммой. Обычно \(S_0=0\), то есть сумма пустого начального участка равна нулю.

\[S_0=0,\qquad S_i=S_{i-1}+a_i\quad (1\le i\le n).\]

Массив кумулятивных сумм строят одним проходом по исходному массиву. После вычисления \(S_i\) сумма элементов с позиции \(1\) по \(i\) известна сразу. Если нумерация начинается с нуля, используют \(S[0]=0\) и формулу \(S[i+1]=S[i]+a[i]\).

№

Пример

Для массива \([3, -1, 4, 2]\) кумулятивные суммы равны \([3, 2, 6, 8]\). Например, сумма первых трёх элементов — \(S_3=6\). Чтобы найти сумму на произвольном отрезке, после этого изучают сумму на отрезке: при индексах \(l\le r\) она равна \(S_r-S_{l-1}\).

Не путайте

Кумулятивная сумма — не то же самое, что сумма всех элементов массива. Она хранит отдельный результат для каждой позиции. Кроме того, это не суффиксные суммы, которые считают элементы от текущей позиции до конца массива.

Проверьте себя

Какова кумулятивная сумма на третьей позиции для массива \([5, 2, -3, 1]\)?

Главное за минуту

Главное

Кумулятивная сумма \(S_i\) равна сумме первых \(i\) элементов.
Её строят рекуррентно: \(S_i=S_{i-1}+a_i\), начиная с \(S_0=0\).
Префиксные суммы позволяют быстро вычислять суммы участков массива и используются в запросах к массиву.