Рішення: Визначення маятника за періодом коливань

Період малих коливань математичного маятника визначається за формулою $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, де $L$ — довжина маятника, $g$ — прискорення вільного падіння. З цієї формули випливає, що $T^2 \sim L$, або $T_1/T_2 = \sqrt{L_1/L_2}$.

Зобразимо довжини маятників у одиницях сітки. Нехай одна одиниця сітки дорівнює 'u'. Довжина маятника M, що має період $T_M = 1.6$ с, складає $L_M = 4u$ (від точки підвісу до центру маси M).

Шукаємо маятник з періодом $T_X = 1.2$ с. Використаємо відношення періодів та довжин:

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

Тепер проаналізуємо довжини маятників 1, 2, 3, 4 за рисунком:
$L_1 = 1u$
$L_2 = 2u$
$L_3 = 3u$
$L_4 = 4u$
Жоден з цих маятників не має довжину $2.25u$. Це свідчить про те, що точка М на рисунку не є центром маси маятника М, а є точкою підвісу, або маятник М і інші маятники не мають спільної точки підвісу, або відрахунок довжин слід вести інакше.

Переглянемо інтерпретацію рисунка. Як правило, точка M вказує на положення вантажу, а верхня сіра лінія – на точку підвісу. Якщо припустити, що 'M' означає конкретний вантаж, а 1, 2, 3, 4 — це можливі положення цього ж вантажу, тоді точка підвісу єдина. На жаль, умова завдання не дозволяє однозначно ідентифікувати довжини маятників 1, 2, 3, 4, якщо вони не підвішені до тієї ж сірої лінії що і 'M'.

Якщо ж маятник М (літера М) є точкою підвісу, а його вантаж знаходиться, наприклад, на 4 одиниці нижче, то це суперечить графічному зображенню (М розташовано там, де мав би бути вантаж).

Давайте припустимо, що точка М (там де написано літера М) є центром маси маятника М. А точка підвісу М - знаходиться на 4 одиниці вище. Це дає $L_M=4u$. Це єдина розумна інтерпретація.
Довжини маятників 1, 2, 3, 4 такі: $L_1 = 1u, L_2 = 2u, L_3 = 3u, L_4 = 4u$.
Потрібна довжина $L_X = 2.25u$. Оскільки $L_2 = 2u$ і $L_3 = 3u$, то шуканий маятник повинен мати довжину між $L_2$ та $L_3$. Жоден з варіантів А, Б, В, Г не підходить.

Однак, в завданнях ЗНО/НМТ часто буває, що 'M' вказує на сам маятник, а цифри 1, 2, 3, 4 - на інші маятники, де точка підвісу для всіх є верхня сіра лінія. Якщо $L_M=4u$, то $T_M = 1.6$ с. Тоді $T = k \sqrt{L}$. Знаходимо $k = T_M/\sqrt{L_M} = 1.6/\sqrt{4u} = 1.6/(2\sqrt{u}) = 0.8/\sqrt{u}$.
Для маятника з $T_X = 1.2$ с: $1.2 = (0.8/\sqrt{u}) \sqrt{L_X} \implies \sqrt{L_X}/\sqrt{u} = 1.2/0.8 = 3/2$. Підносимо до квадрату: $L_X/u = (3/2)^2 = 9/4 = 2.25$. Отже, $L_X = 2.25u$.

Оскільки немає маятника з довжиною $2.25u$, припустимо, що в завданні є помилка в даних або в малюнку. Якщо ж вибирати найближчий, то це було б щось між 2 і 3. Припустимо, що точка М - це позначення маятника, який показаний пунктирною лінією, і його довжина $L_M=4u$. Точки 1, 2, 3, 4 - це положення кінців інших маятників.

Є ще одна поширена інтерпретація таких задач, коли M - це не маятник, а точка, від якої відраховуються довжини, але це суперечить формулюванню 'маятника M'.
Давайте припустимо, що точка М знаходиться на 4 одиниці від підвісу. Тоді, можливо, маятники 1, 2, 3, 4 - це маятники, які мають довжини, що відраховуються не від верхньої лінії, а від якоїсь іншої точки. Але це також не логічно.

Найбільш вірогідна помилка в завданні, де число 1.2 с мало бути іншим, або число 1.6 с. Якщо ми підставляємо значення з варіантів, наприклад, для $L_2=2u$, то $T_2 = T_M \sqrt{L_2/L_M} = 1.6 \sqrt{2u/4u} = 1.6 \sqrt{1/2} = 1.6/\sqrt{2} \approx 1.6/1.414 \approx 1.13$ с. Це близько до 1.2 с.

Якщо ж для $L_3=3u$, то $T_3 = T_M \sqrt{L_3/L_M} = 1.6 \sqrt{3u/4u} = 1.6 \sqrt{3}/2 = 0.8\sqrt{3} \approx 0.8 \times 1.732 \approx 1.38$ с. Це значно далі від 1.2 с, ніж 1.13 с.