Решение: Трапецияның орта сызығы 10 см-ге тең және ол сызық трапецияның ауданын 3:5 қатынаста бөлед
Трапецияның орта сызығы 10 см-ге тең және ол сызық трапецияның ауданын 3:5 қатынаста бөледі. Трапецияның табандарының ұзындықтарын табыңыз.
Решение по шагам
4 шагаПусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причем $a < b$. Орта сызык — это средняя линия трапеции, равная $\frac{a+b}{2}$. По условию, она равна 10 см: $\frac{a+b}{2} = 10 \implies a+b = 20$.
$$\frac{a+b}{2}=10$$Средняя линия делит площадь трапеции в отношении 3:5. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 10h$. Высота $h$ одинакова для обеих частей. Площадь верхней меньшей трапеции (с основаниями $a$ и средней линией $m=10$) равна $S_1 = \frac{a+10}{2} \cdot \frac{h}{2}$, так как средняя линия проводится на metà высоты. Аналогично, нижняя часть: $S_2 = \frac{10+b}{2} \cdot \frac{h}{2}$. Отношение площадей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{a+10}{10+b} = \frac{3}{5}$.
$$\frac{a+10}{b+10}=\frac{3}{5}$$Из системы: $\left\{ \begin{array}{l} a+b=20 \\ \dfrac{a+10}{b+10}=\dfrac{3}{5} \end{array} \right.$. Из второго уравнения: $5(a+10)=3(b+10) \implies 5a+50=3b+30 \implies 5a-3b=-20$. Подставляем $b=20-a$: $5a-3(20-a)=-20 \implies 5a-60+3a=-20 \implies 8a=40 \implies a=5$. Тогда $b=20-5=15$.
$$5a-3b=-20$$Получили основания: 5 см и 15 см. Это соответствует варианту B.
Где здесь ошибаются
Путаница: считать, что средняя линия делит высоту пополам — это верно, но забывать, что площадь частей зависит от средних оснований. Ошибка: принимать отношение площадей как отношение оснований напрямую. Ошибка: решать систему без учета выс