Решение: Первый тракторист вспахивает определенный участок земли на 24 часа раньше, чем второй тракторист
Первый тракторист вспахивает определенный участок земли на 24 часа раньше, чем второй тракторист. Если два тракториста будут работать вместе, они вспашут этот участок за 35 часов. Найдите, за какое время первый тракторист вспахает этот участок один.
Решение по шагам
5 шаговПусть время, за которое первый тракторист вспахивает участок один, равно $x$ часов. Тогда второй тракторист тратит $x+24$ часов. Их производительности: $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+24}$ участка в час. Вместе за 35 часов они вспахивают весь участок: $35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}\right) = 1$.
$$35\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}\right) = 1$$Умножим обе части на $x(x+24)$: $35(x+24 + x) = x(x+24)$ → $35(2x+24) = x^2 + 24x$ → $70x + 840 = x^2 + 24x$.
$$70x + 840 = x^2 + 24x$$Переносим все в одну часть: $x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$ → $x^2 - 46x - 840 = 0$.
$$x^2 - 46x - 840 = 0$$Решаем квадратное уравнение: дискриминант $D = (-46)^2 - 4\cdot1\cdot(-840) = 2116 + 3360 = 5476$. Корень из $D$: $\sqrt{5476} = 74$. Тогда $x = \frac{46 \pm 74}{2}$. Получаем два корня: $\frac{46+74}{2} = 60$ и $\frac{46-74}{2} = -14$. Время не может быть отрицательным, значит $x = 60$ часов.
$$x = \frac{46 \pm 74}{2} = 60 \text{ (отрицательный корень отбрасываем)}$$Проверка: первый тракторист — 60 ч, второй — 84 ч. Производительность вместе: $\frac{1}{60} + \frac{1}{84} = \frac{7}{420} + \frac{5}{420} = \frac{12}{420} = \frac{1}{35}$ участка в час → за 35 часов вспахивают весь участок. Условие выполнено. Правильный ответ — E.
$$\frac{1}{60} + \frac{1}{84} = \frac{1}{35}$$Где здесь ошибаются
Путаница в обозначении времени второго тракториста (например, взять $x-24$ вместо $x+24$), что приводит к неверному уравнению и отрицательному или несуществующему решению.
Ошибка при решении квадратного уравнения: неправильный подсчёт дискриминанта или неправильный знак при применении формулы корней, ведущий к выбору неверного варианта (например, 84 вместо 60).
Забывание отбрасывать отрицательный корень и ошибочный выбор варианта с отрицательным временем.