Решение: Рост тока в колебательном контуре
К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с частотой $\nu$. Электроёмкость $C$ конденсатора колебательного контура можно плавно менять от минимального значения $C_{\min}$ до максимального значения $C_{\max}$, а индуктивность его катушки постоянна. Ученик постепенно увеличивал ёмкость конденсатора от минимального значения до максимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре всё время возрастала. Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.
Решение по шагам
5 шаговАмплитуда тока в цепи переменного тока определяется отношением амплитуды напряжения источника к полному сопротивлению контура.
$$I_0 = \dfrac{U_0}{Z}$$Для последовательного колебательного контура полное сопротивление с учётом активного сопротивления $R$ равно:
$$Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$$При увеличении ёмкости $C$ ёмкостное сопротивление $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$ уменьшается. Наблюдаемое увеличение амплитуды тока означает, что величина $Z$ на всём рассматриваемом интервале уменьшается. Следовательно, разность между индуктивным и ёмкостным сопротивлениями уменьшается, а резонанс ещё не достигнут внутри интервала изменения ёмкости.
Резонанс наступает при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений:
$$\omega L = \dfrac{1}{\omega C_{\text{рез}}}, \qquad \nu = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_{\text{рез}}}}$$Так как ток возрастал при увеличении ёмкости вплоть до $C_{\max}$, резонансная ёмкость находится за пределами рассматриваемого интервала или на его правой границе: $C_{\text{рез}} \geq C_{\max}$. Поэтому частота источника не превосходит резонансную частоту контура с максимальной ёмкостью.
$$\nu \leq \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_{\max}}}$$При увеличении $C$ ёмкостное сопротивление уменьшается, полное сопротивление контура снижается, поэтому амплитуда тока возрастает. Резонанс не был достигнут до значения $C_{\max}$, следовательно, $C_{\text{рез}} \geq C_{\max}$ и $\nu \leq \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC_{\max}}}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Утверждать, что при увеличении ёмкости ток всегда возрастает независимо от частоты источника.
Забывать, что после прохождения резонанса амплитуда тока начинает уменьшаться.
Путать зависимость ёмкостного сопротивления от ёмкости: $X_C = \dfrac{1}{\omega C}$ уменьшается при увеличении $C$.
Считать, что наблюдение означает достижение резонанса внутри интервала изменения ёмкости.