Решение: Характеристики астероидов
Рассмотрите таблицу, содержащую характеристики некоторых астероидов Солнечной системы. Эксцентриситет орбиты определяется по формуле $e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}$, где $b$ — малая полуось, $a$ — большая полуось орбиты. При $e=0$ орбита является окружностью, при $0<e<1$ — эллипсом.
| Название астероида | Примерный радиус астероида, км | Большая полуось орбиты, а.е. | Период обращения вокруг Солнца, земных лет | Эксцентриситет орбиты $e$ | Масса, кг |
|---|---|---|---|---|---|
| Веста | 265 | 2,37 | 3,63 | 0,091 | $3,0\cdot10^{20}$ |
| Эвномия | 136 | 2,65 | 4,30 | 0,185 | $8,3\cdot10^{18}$ |
| Церера | 466 | 2,78 | 4,60 | 0,077 | $8,7\cdot10^{20}$ |
| Паллада | 261 | 2,78 | 4,61 | 0,235 | $3,2\cdot10^{20}$ |
| Юнона | 123 | 2,68 | 4,36 | 0,256 | $2,8\cdot10^{19}$ |
| Геба | 100 | 2,42 | 3,76 | 0,202 | $1,4\cdot10^{19}$ |
| Аквитания | 54 | 2,79 | 4,53 | 0,238 | $1,1\cdot10^{18}$ |
Решение по шагам
6 шаговПроверим вторую космическую скорость Весты. При $M=3{,}0\cdot10^{20}\ \text{кг}$ и $R=265\ \text{км}$:
$$v_2=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\approx\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}0\cdot10^{20}}{265\cdot10^3}}\approx1{,}2\ \text{км/с}$$Скорость Весты значительно меньше $11\ \text{км/с}$, поэтому утверждение 1 неверно.
Переведём большую полуось Эвномии в километры:
$$a=2{,}65\cdot150\cdot10^6\approx397{,}5\cdot10^6\ \text{км}$$У Юноны эксцентриситет $0{,}256$, а у Цереры $0{,}077$. Чем больше эксцентриситет, тем более вытянута орбита, поэтому утверждение 3 верно.
$$0{,}256>0{,}077$$Большая полуось орбиты Гебы равна $2{,}42$ а.е. Орбиты Марса и Юпитера имеют большие полуоси примерно $1{,}52$ а.е. и $5{,}2$ а.е. соответственно, поэтому орбита Гебы находится между ними.
$$1{,}52<2{,}42<5{,}2$$Для Аквитании при $R=54\ \text{км}$ и $m=1{,}1\cdot10^{18}\ \text{кг}$ средняя плотность равна примерно $1{,}7\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$, а не $700\ \text{кг/м}^3$.
$$\rho=\frac{1{,}1\cdot10^{18}}{\frac{4}{3}\pi(54\cdot10^3)^3}\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{кг/м}^3$$Где здесь ошибаются
Считать радиус астероида в километрах без перевода в метры при вычислении плотности или скорости.
Путать большую полуось орбиты с радиусом астероида.
Считать орбиту более вытянутой при меньшем, а не при большем эксцентриситете.