Решение: Площадь поршня в термодинамическом процессе
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью $k$. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра было равно $L$, а давление газа в цилиндре было равно внешнему атмосферному давлению $p_0$. Затем газу было передано количество теплоты $Q$, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние $b$. Чему равна площадь поршня $S$?
Решение по шагам
8 шаговВ начальном состоянии давление газа равно атмосферному, поэтому сила упругости пружины равна нулю. После перемещения поршня на расстояние $b$ пружина растянута и действует на поршень с силой $kb$.
$$p_1S=p_0S+kb$$Конечное давление газа равно
$$p_1=p_0+\frac{kb}{S}$$Объёмы газа в начальном и конечном состояниях:
$$V_0=SL,\qquad V_1=S(L+b)$$Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется изменением произведения $pV$:
$$\Delta U=\frac{3}{2}(p_1V_1-p_0V_0)$$Подставим выражения для давления и объёмов:
$$\Delta U=\frac{3}{2}\left[\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0SL\right]=\frac{3}{2}\left(p_0Sb+kbL+kb^2\right)$$Работа газа складывается из работы против атмосферного давления и работы по растяжению пружины:
$$A=p_0Sb+\int_0^b kx\,dx=p_0Sb+\frac{1}{2}kb^2$$По первому закону термодинамики:
$$Q=\Delta U+A=\frac{5}{2}p_0Sb+\frac{3}{2}kbL+2kb^2$$Решая это уравнение относительно площади поршня, получаем:
$$S=\frac{2Q-3kbL-4kb^2}{5p_0b}$$$S=\dfrac{2Q-3kbL-4kb^2}{5p_0b}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать работу газа против атмосферного давления.
Считать работу пружины равной $kb^2$ вместо $\dfrac{1}{2}kb^2$.
Использовать формулу для изменения внутренней энергии с коэффициентом $\dfrac{3}{2}$ не для изменения $pV$.
Забыть, что конечный объём газа равен $S(L+b)$.