Ответ: Стратегии в игре с камнями
1а) $S=18,19,\ldots,35$. 1б) $S=17$; Ваня после любого хода Пети получает позицию 18, 20 или 34 и выигрывает удвоением. 2) $S=14$ и $S=16$; Петя переводит игру в 17, после чего выигрывает следующим ходом при любом ответе Вани. 3) $S=4$; стратегия Вани: $5\to10$, $7\to14$, $8\to16$, затем удвоение после любого хода Пети. Дерево: $4\to5\to10\to11\to22$, $10\to13\to26$, $10\to20\to40$; $4\to7\to14\to15\to30$, $14\to17\to34$, $14\to28\to56$; $4\to8\to16\to17\to34$, $16\to19\to38$, $16\to32\to64$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход можно добавить в кучу 1 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 2 раза. Игра завершается, когда количество камней становится не менее 36. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, где $1 \leq S \leq 35$. Игрок имеет выигрышную стратегию, если может выиграть при любых ходах противника.
Выполните задания: 1а) укажите все значения $S$, при которых Петя может выиграть одним ходом; 1б) укажите значение $S$, при котором Петя не может выиграть одним ходом, но после любого его хода Ваня выигрывает первым ходом, и опишите стратегию Вани. 2) укажите два значения $S$, при которых Петя не может выиграть одним ходом, но может гарантированно выиграть своим вторым ходом, и опишите его стратегию. 3) укажите значение $S$, при котором Ваня может гарантированно выиграть первым или вторым ходом, но не может гарантированно выиграть именно первым ходом. Опишите стратегию Вани и постройте дерево всех партий, возможных при этой стратегии.
Где здесь ошибаются
Указывать только одну позицию из диапазона $18\ldots35$ в задании 1а.
Считать, что при $S=17$ Петя может выиграть одним ходом.
Для задания 2 выбирать позиции 14 и 16, но не объяснять перевод в позицию 17.
Строить полное дерево игры вместо дерева партий, совместимых со стратегией Вани.
Не указывать ходы Вани после каждого возможного хода Пети.