Ответ: Игра с кучей камней
Задание 1: а) $13\text{–}62$; б) например, $S=12$. Задание 2: например, $S=6$ и $S=11$. Задание 3: $S=2$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с кучей камней. Первый ход делает Петя. За один ход можно добавить в кучу 1 или 4 камня либо увеличить количество камней в 5 раз. Игра заканчивается, когда количество камней становится не менее 63. Побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было $S$ камней, где $1 \leq S \leq 62$. Во всех случаях обоснуйте ответ.
Выполните три задания: определите значения $S$ для выигрыша Пети за один ход; найдите стратегии Вани и Пети для указанных условий; для задания 3 постройте дерево всех партий, возможных при реализации стратегии Вани.
Где здесь ошибаются
Считать выигрышной любую позицию, из которой существует хотя бы один удачный ход, не проверяя все возможные ходы противника.
Забывать, что игра завершается сразу после получения не менее $63$ камней.
Включать в стратегию ходы, которые не являются безусловно выигрышными.
Строить полное дерево игры вместо дерева, соответствующего выбранной выигрышной стратегии.