Решение: Выигрышный ход в игре
Два игрока, Петя и Ваня, играют в игру с двумя кучами камней. Первый ход делает Петя. За один ход можно добавить 2 камня в одну из куч или увеличить количество камней в одной из куч в 2 раза. Игра завершается, когда суммарное количество камней становится не менее 169; победитель — игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче 14 камней, во второй — $S$ камней, где $1 \leq S \leq 154$. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Найдите минимальное значение $S$.
Решение по шагам
5 шаговПосле первого хода Пети возможны позиции $(16,S)$, $(14,S+2)$, $(28,S)$ и $(14,2S)$.
Для минимального значения $S$ выгоднее всего Петя должен удвоить вторую кучу. Тогда после его хода получится позиция $(14,2S)$.
Ваня удваивает вторую кучу. Суммарное количество камней становится равным $14+4S$. Для победы необходимо:
$$14+4S\geq169$$Решаем неравенство:
$$4S\geq155,\quad S\geq38{,}75$$Минимальное целое значение $S$ равно 39. При этом после ходов получится позиция $(14,156)$, сумма камней равна 170, поэтому Ваня выигрывает.
Где здесь ошибаются
Учитывают только добавление 2 камней и не рассматривают удвоение кучи.
Проверяют сумму после хода Пети, но не учитывают возможный ответ Вани.
Округляют результат неравенства $S\geq38{,}75$ вниз.