Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 13 Марта

Для треугольника $SDR$ с гипотенузой $\mathrm{DR\; =\; 25}$ и катетом $\mathrm{SD\; =\; 24}$, угол $S$ равен 90°. Найдите $\mathrm{sinR}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(100;-75)$.

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его радиус основания уменьшится в 10 раз, а остальные параметры не изменятся.

Вероятность того, что спортсмен забьет больше 12 голов, равна 0.85. Вероятность того, что он забьет больше 11 голов, равна 0.95. Найдите вероятность того, что спортсмен забьет ровно 12 голов.

Инструкторы по плаванию считают, что вероятность того, что температура воды в бассейне поднимется выше чем 17.8℃, составляет 0.76. Какова вероятность того, что температура воды будет ниже 17.8℃?

Найдите корень уравнения ${(x-2)}^2=9$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Определите значение выражения $\frac{{\left({128}^3\right)}^{-9}}{{\left({256}^8\right)}^{-3}}$

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{n(x)}$. Отметьте точку на оси абсцисс, где значение производной функции наибольшее среди точек -2, -1, 0, 1, 3.

Футболисты ударили два одинаковых мяча массой по 0.6 кг каждый со скоростью 22 м/с под углом 2α, и они выработали энергию 217.8 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

Рыба плыла против течения на 42 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 14 часов меньше. Определите скорость рыбы, если скорость течения равна 2 км/ч.

На графике изображен график функции, которая имеет вид $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$. Определите значение функции $f\left(\mathrm{12}\right)$.

Найдите точку минимума функции $y=3\cdot x^3-11\cdot x^2-8\cdot x+11$

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $\sin (2\cdot x)+\cos \left(x\right)=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-16\cdot \pi }{3};\frac{-11\cdot \pi }{3}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=9$ см, ${\mathrm{CC}}_1=9\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{13}^{x+1}+{104}^x+8^{x+1}+104}{x^2-1\cdot x}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ подобны.

б) Вычислите длину стороны $ABC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=\mathrm{90°}$, $B_1{C}_1=7$ и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 8 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Определите значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-81\cdot x^2+49\cdot a^2}=x^2+9\cdot x-7\cdot a$ обладает ровно $3$ решениями.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 61?
2) Может ли сумма быть равна 719?
3) Какое самое маленькое значение может принимать дробное S для 3-значных исходных чисел?