Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 14 Января

Окружность с центром в точке $Z$ имеет диаметры $\mathrm{RU}$ и $\mathrm{NA}$. Величина угла $\mathrm{RUN}$ составляет $\mathrm{50°}$. Определите величину угла $\mathrm{RZA}$. Ответ в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ , координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $-3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}.$

Шар вписан в конус. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 34. Найдите объем конуса.

Верфь производит 32 лодки за месяц, и 12 лодок имеют неисправности в корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранная лодка будет без дефектов.

На научной конференции ожидается определенное количество участников. Вероятность того, что придет больше 43 участников, равна 0.64. Вероятность того, что придет больше 22 участников, равна 0.48. Найдите вероятность того, что количество участников будет от 23 до 43.

Определите значение x для уравнения: $\sqrt{3\cdot x+13}=7$.

Какое значение принимает выражение $\frac{-6\cdot \sin (154°)}{\sin (13°)\cdot \sin (77°)}$?

На рисунке изображён график y = $\mathrm{n\text{'}(x)}$ — производной функции $\mathrm{n(x)}$, определённой на интервале (-7; 7). В какой точке отрезка [-6; 6] функция $\mathrm{n(x)}$ принимает наименьшее значение?

Два молота, каждый массой 8 кг, ударили друг о друга со скоростью 14.7 м/с под углом 2α и выработали энергию 1728.72 Дж, которая рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

Рыба плыла против течения на расстояние 24 км, а затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 8 часов меньше. Определите скорость течения, если скорость рыбы в неподвижной воде равна 4 км/ч.

Функция имеет вид $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)$, а её график приведен на рисунке. Определите значение функции $f\left(\mathrm{16}\right)$.

Найдите минимум функции $-1\cdot \sin \left(x\right)-\frac{6}{\pi }\cdot x-15$ на интервале $[-4\cdot \pi ;\pi +8\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${6561}^{\cos \left(x\right)}-90\cdot {81}^{\cos \left(x\right)}+729=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[8\cdot \pi ;9\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=12$ см, ${\mathrm{CC}}_1=12\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{4^x-8-2^{x+1}+8^x}{x^2+15\cdot x+56}$\le 0$.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ABD}=\mathrm{\angle DBC}=30°$.
б) Найдите $\mathrm{MD}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{39}$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$7\cdot a<=x$ $x+a>=24$ $20\cdot x<x^2+a^2$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[5;9]$.

Есть три коробки. В одной из них 150 камней, в другой — 0, а в третьей — 101. Произвели несколько ходов, перекладывая по одному камню из двух любых коробок в третью.

а) Могло ли в первой коробке остаться 164 камней, во второй — 0, а в третьей — 87?

б) Может ли в третьей коробке оказаться 251 камень?

в) В первой коробке остался 1 камень. Какое максимальное количество камней могло оказаться в второй коробке?