Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 22 Марта

В прямоугольном треугольнике $ECQ$, где угол $E$ равен 90°, $\mathrm{CQ\; =\; 50}$, а $\mathrm{EQ\; =\; 48}$. Найдите $\mathrm{cosC}$.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(-3;-4)$.

Найдите объём многогранника в прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $A_1$, если $CD=1$, $A_1{D}_1=3$, $C{C}_1=5$.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся решит больше 10 задач, равна 0.76. Вероятность того, что он решит больше 9 задач, равна 0.99. Найдите вероятность того, что он решит ровно 10 задач.

По результатам трехкратного броска игральной кости в сумме выпало 7 очков. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

Найдите корень уравнения ${(x-14)}^2=64$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Что получится, если решить $\frac{{\left(9^6\right)}^5}{{\left({729}^{10}\right)}^1}$?

На графике представлена функция y = $\mathrm{k(x)}$. Определите, в какой из точек -4, -3, 0, 2, 4 значение производной функции будет наименьшим.

Катер, двигаясь по реке со скоростью 13.5 м/с, начал снижать скорость с ускорением 2.6 м/с². За t секунд с момента начала снижения скорости он прошел 35 метров. Путь вычисляется по формуле $S=V_0\cdot t-\frac{a\cdot t^2}{2}$. Найдите время торможения.

Машина приехала заправляться на автозаправку с двумя колонками. Вторая колонка заправляет машину с баком объёмом 68 литров на 13 минут быстрее, чем первая, так как она пропускает на 13 литров топлива в минуту больше. За сколько минут первая колонка заправит машину?

На рисунке изображен график функции $f\left(x\right)=k\cdot x+b$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=8$.

Найдите минимум функции $-8\cdot \sin \left(x\right)-\frac{14}{\pi }\cdot x+2$ на интервале $[\pi -6\cdot \pi ;\frac{\pi }{2}+10\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение $2\cdot \cos \left(x\right)\cdot \sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\cdot \sqrt{2}=0$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\cdot \pi }{2};\frac{13\cdot \pi }{4}]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{45°}$, $\mathrm{AB}=12$ см, ${\mathrm{CC}}_1=12\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{60°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{2^x-20-{10}^{x+1}+{20}^x}{x^2-4\cdot x-5}$\ge 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

а) Покажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1{B}_1{C}_1$.

б) Рассчитайте длину $ABC$ и радиус окружности, если $\angle A=\mathrm{60°}$, $B_1{C}_1=4$, и площадь треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ в 7 раз меньше площади четырёхугольника $CB{B}_1{C}_1$.

Найдите все значения a, при которых система неравенств:

$19\cdot x>x^2+a^2$ $x+a<=29$ $1\cdot a<=x$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[8;18]$.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 81?
2) Может ли сумма быть равна 466?
3) Какое самое большое значение может принимать целое S для 4-значных исходных чисел?