Пробный вариант ЕГЭ по математике профиль 2025 от 08 Марта

Центральный угол на $\mathrm{42°}$ больше угла, вписанного в ту же дугу окружности. Найдите этот вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}(-100;-75)$.

Дан шар объемом $4$, который вписан в цилиндр. Определите объем цилиндра.

В автобусе 25 мест, из которых 11 мест - удобные места в центральной части и вблизи водителя. Найдите вероятность того, что при случайном выборе пассажиру в автобусе достанутся удобные места.

Вулканологи заявляют, что вероятность того, что температура лавы при извержении вулкана будет ниже чем 741.2℃, равна 0.95. Какова вероятность того, что температура будет выше 741.2℃?

Определите значение x для уравнения ${(x-15)}^2=16$. Если корней несколько, в ответе укажите наибольший корень.

Вычислите результат для $24\cdot {\log }_{\frac{2^{-5}}{}}\left(32\right)$

На рисунке показан график функции y = $\mathrm{g(x)}$. Среди точек  x₀, x₁, сколько таких, в которых значение производной положительно?

Тележки массой по 65.2 кг каждая, столкнулись на скорости 6 м/с под углом 2α и выработали энергию 2347.2 Дж. Энергия рассчитывается по формуле $Q=m\cdot V^2\cdot {\sin \left(a\right)}^2$. Найдите угол 2α в градусах.

Рыба плыла по течению на 336 км, затем вернулась обратно, затратив на обратный путь на 14 часов больше. Определите скорость течения, если скорость рыбы в неподвижной воде равна 10 км/ч.

Дана функция, которая может быть представлена в виде $f\left(x\right)={\log }_a\left(x\right)+b$. Вычислите значение функции $f\left(x\right)$ в точке $x=16$.

Найдите максимум функции $2\cdot \sin \left(x\right)-\frac{12}{\pi }\cdot x+4$ на интервале $[\pi -4\cdot \pi ;\frac{5\cdot \pi }{6}+4\cdot \pi ]$.

Дайте развернутый ответ:
a) Решите уравнение ${2401}^{\sin \left(x\right)}-56\cdot {49}^{\sin \left(x\right)}+343=0$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{-5\cdot \pi }{2};-1\cdot \pi ]$

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём ${\mathrm{CC}}_1$ — образующая цилиндра, а $\mathrm{AC}$ — диаметр основания. Известно, что $\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{30°}$, $\mathrm{AB}=15$ см, ${\mathrm{CC}}_1=15\cdot \sqrt{2}$ см.

а) Докажите, что угол между прямыми ${\mathrm{AC}}_1$ и $\mathrm{BC}$ равен $\mathrm{45°}$.

б) Найдите объём цилиндра.

Решите неравенство $$ \frac{{63}^x-63-7^{x+1}+9^x}{x^2-9\cdot x-10}$\le 0$.

Бизнесмен хочет взять в кредит целое число миллионов рублей на 9 лет с ежегодным увеличением долга на 80%. Заемщик предполагает, что в 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 годах он будет выплачивать только проценты. В остальные года заемщик выплачивает одинаковые суммы, которые полностью погашают долг. Найдите наибольший возможный кредит, при котором выплаченная сумма не превышает 51 млн рублей.

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника $\mathrm{ABCD}$ перпендикулярно диагонали $\mathrm{AC}$, пересекает сторону $\mathrm{AD}$ в точке $M$, равноудалённой от вершин $B$ и $D$.
a) Докажите, что $\mathrm{\angle ADB}=\mathrm{\angle MBD}=30°$.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $\mathrm{CM}$, если $\mathrm{BC}=\mathrm{60}$.

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $\sqrt{x^4-100\cdot x^2+64\cdot a^2}=x^2+10\cdot x-8\cdot a$ имеет ровно $3$ решения.

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.

1) Может ли сумма быть равна 1754?
2) Может ли сумма быть равна 90?
3) Какое самое большое значение может принимать дробное S для 3-значных исходных чисел?